Кратные корни

Теорема Безу. Многочлен f(x) делится на x-c тогда и только тогда, когда число c является его корнем.

Рассмотрим произвольный многочлен f(x) и разделим его с остатком на двучлен x-c. Поскольку степень этого двучлена равна 1, то остаток либо равен 0, либо имеет степень 0. И в том, и в другом случае остаток r есть число. Таким образом, многочлен f(x) представляется в виде:

f(x)= (x-c) q(x)+ r.

Положив в этом тождестве x= c, получим что f(c)=r. Мы доказали тем самым, что остаток от деления многочлена на двучлен x- c равен значению многочлена при x=c.

С помощью теоремы Безу решим несколько задач.

Пример 1. Решить уравнение .

Многочлен f(x)= имеет корень 2. По теореме Безу f(x) делится на x-2, то есть имеет место равенство

.

|

Остается решить квадратное уравнение .

Это уравнение не имеет действительных корней, так что x=2 – единственный действительный корень исходного уравнения.

2. Решить уравнение .

Многочлен f(x)= имеет корень -2. По теореме Безу f(x) делится на x+2, то есть имеет место равенство .

|

Остается решить квадратное уравнение .

Это уравнение имеет корень 1. Так что x=-2 и x=1 – корни исходного уравнения.

Если c – корень многочлена f(x), то есть f(c)=0, то f(x) делится на x-c. Может оказаться, что многочлен f(x) делится не только на первую степень линейного двучлена x-c, но и на более высокие его степени. Во всяком случае, найдется такое натуральное число k, что f(x) нацело делится на , но не делится на . Поэтому

,

где многочлен на x-c уже не делится, то есть число с своим корнем не имеет. Число k называется кратностью корня c в многочлене f(x), а сам корень c – k- кратным корнем этого многочлена. Если k =1, то говорят, что корень с – простой.