Делимость многочленов. Свойства делимости

Многочлен делится на многочлен , если существует такой многочлен , что выполняется равенство

(2.1)

Например, из равенства следует, что делится на многочлен и на многочлен .

Многочлен в равенстве (2.1) определяется однозначно. Если бы существовал многочлен , удовлетворяющий равенству (2.1), то мы получили бы, что

(2.2)

откуда

Но многочлен по условию ненулевой, и в силу утверждения или нулевом является многочлен , т.е. многочлен совпадает с .

Многочлен в равенстве (2.1) называется частным от деления на , а – делителем.

Укажем некоторые основные свойства делимости многочленов.

1. Если делится , а делится на , то будет делиться на .

В самом деле, по условию и , а поэтому .

2. Если и делятся на , то их сумма и разность также делятся на .

Из равенств и вытекает .

3. Если делится на , то произведение на любой многочлен также будет делиться на .

Если , то .

Из 2. и 3. вытекает следующее свойство:

4. Если каждый из многочленов делится на , то на будет делиться и многочлен , где - произвольные многочлены.

5. Всякий многочлен делится на любой многочлен нулевой степени.

Если , а с - произвольное число, не равное нулю, то есть произвольный многочлен нулевой степени, то .

6. Если делится на , то делится и на с , где с – произвольное число отличное от нуля.

Из равенства следует равенство .

7. Многочлены , , и только они будут делителями многочлена , имеющими такую же степень, что и .

Действительно, . То есть делится на .

Если делится на , причем степени и совпадают, то степень частного от деления на должна быть равной нулю, то есть , , откуда .

Отсюда вытекает следующее свойство:

8. Тогда и только тогда многочлены , одновременно делятся друг на друга, если , .

Из 1. и 8. вытекает свойство:

9. Всякий делитель одного из двух многочленов , , где , будет делителем и для другого многочлена.

Свойства делимости многочленов могут быть применены для изучения делимости в множестве целых чисел. Выясним, например, для каких целых чисел n число является простым.

Натуральное число, отличное от 1, называется простым, если оно делится только на 1 и на само себя; целое отрицательное число k называется простым, если число –k простое.

Для ответа на поставленный вопрос заметим, что справедливо равенство

(2.3)

и поэтому число делится на и на Следовательно, оно может быть простым только в случае, когда один из этих делителей равен 1 или –1, т.е. выполняется хотя бы одно из равенств

Остается проверить следующие значения n: 3, 1, 0, -3, -1 и –2. При этих значениях n рассматриваемое число равно соответственно 19, -5, 3, 4, так что искомое множество чисел есть

Может возникнуть вопрос: откуда взялось равенство (2.3)? Как мы догадались, что многочлен таким образом раскладывается на множители? Для нахождения разложений такого типа необязательно прибегать к искусственным группировкам, это можно сделать с помощью теории, которая будет изложена ниже.

Из этого примера видно, что уже для решения задач, связанных с делимостью целых чисел, полезно уметь выяснять, делится ли данный многочлен на некоторый другой многочлен (раскладывается ли на множители).Ответ на такой и многие другие вопросы можно найти с помощью деления многочлена с остатком.