Интегрирование иррациональных выражений

1. Интегралы вида

Пусть – общий знаменатель .

Тогда эффективна замена переменных:

2. Интегралы вида

Пусть – общий знаменатель .

Тогда эффективна замена .

Пример 11. Взять интеграл

Сделаем замены:

В результате чего интеграл преобразуется к виду

Подынтегральное выражение разложим на простейшие дроби

Найдем выражение для коэффициентов , для чего правую часть полученного выражения приведем к общему знаменателю:

Дроби равны, знаменатели равны, значит должны быть равны и числители

Сгруппируем правую часть по степеням :

Полученное уравнение эквивалентно системе уравнений

Решая эту систему, получим:

Следовательно:

Интегрируя, получим:

Возвращаясь к старым переменным, получим:

Преобразовывая, получим окончательно: