Метод интегрирования подстановкой

Основную роль в интегральном исчислении играет формула замены переменных (или подстановки )

Например.

Пример. .

Такого табличного интеграла нет. Сделаем замену - . Отсюда

Перейдем от дифференциала к дифференциалу , для чего возьмем дифференциал от левой и правой частей формулы замены. Получим

.

Подставим в исходный интеграл:

И далее

Так как

Но , поэтому

5. Интегралы группы четырёх (содержащие квадратный трехчлен).

1) Разложим знаменатель, квадратный трехчлен:

2) Введем новую переменную

3) Тогда знаменатель будет иметь вид:

Рассмотрим вначале случай, когда . При этом . Следовательно

Или, возвращаясь к старым переменным

Преобразовывая, получим:

Теперь рассмотрим случай, когда . Квадратный трехчлен представим в виде:

Следовательно

Опять возвращаясь к старым переменным, получим

Преобразовывая, найдем:

Рассмотрим теперь второй интеграл.

Или

Рассмотрим теперь третий интеграл. Используя разложение квадратного трехчлена, и, заменяя переменную , запишем:

Полученное выражение представим в виде двух интегралов

В дифференциал первого интеграла внесем множитель

Возьмем интегралы

Вернемся к старым переменным

Рассмотрим теперь последний интеграл . Аналогично, Используя разложение квадратного трехчлена, и, заменяя переменную , запишем

Полученное выражение также представим в виде двух интегралов

В первом интеграле под знак дифференциала введем , взяв второй интеграл и возвращаясь в нем к переменной , получим

Взяв первый интеграл, получим окончательно

6. Интегрирование по частям.

Известно, что дифференциал от произведения равен:

Проинтегрируем полученное равенство

Интеграл от дифференциала некоторой функции равен самой функции:

Меняя местами слагаемые, получим:

Это и есть формула интегрирования по частям.

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. Положим ; .

Тогда

7. Интегрирование рациональных дробей.

Дробью называется выражение вида:

Дробь - правильная, если . Дробь - не правильная, если .

Для того, чтобы проинтегрировать дробь надо разложить ее на простейшие дроби.

Простейшие дроби:

1.

2.

3.

4.

Интеграл от первой дроби - табличный интеграл:

1.

Интеграл от второй дроби - также табличный:

2.

3. Интеграл от третьей дроби см. интеграл группы четырёх.

4. Интеграл от четвертой дроби также см. интеграл группы четырёх.

Рассмотрим теперь дробь более общего вида.

Теорема. Пусть - правильная дробь, причем . Тогда эту дробь можно представить в виде:

Доказательство

Далее, выберем величину равной: . Тогда получим, что

И если , то

То есть является корнем многочлена . В этом случае многочлен можно представить в виде:

и, следовательно, далее запишем:

что и тр. док.

Следствие. Используя эту логику и дальше, можно записать: