Опр. Векторными линиями поля наз. кривые, касательные к которым в каждой точке Мсовпадают с F(M)

В сферическом поле векторными линиями являются все прямые проходящие через центр, в цилиндрическом поле все прямые к оси цилиндра.

При перемещении из точки М вдоль векторной линии дифференциал радиус-вектора точки т.е. , будет определять направление касательной и, следовательно, будет коллинеарен вектору F(M). Условие коллинеарности двух векторов = F(M) приводит к системе двух дифференциальных уравнений (26)

решение которых и определит уравнения векторных линий.

Пр. Найти векторные линии в.п. F(M) = x i – y j – 2 k.

{ ; }

1 уравнение: ln x = - ln y + ln C₁ ln(xy) = ln C₁ xy = C₁ – гиперболический цилиндр

2 уравнение: ln y = ½ lnz + ln C₂ ln y²/z = ln C₂ y² = zC₂ – параболический цилиндр

Векторными линиями являются линии пересечения этих поверхностей. Для каждой точки М существует свой набор констант С₁, С₂.

Поток векторного поля через поверхность.

Пусть даны в.п. F(M) = {P, Q, R} и двухсторонняя ориентированная поверхность G с нормальным вектором n(M) = { }.

Опр. Выберем на G бесконечно малую площадку S. Считаем, что во всех ее точках векторы F, n имеют постоянное значение. Тогда скалярное произведение этих векторов и площади S наз. потоком вектора F через бесконечно малую площадку.

П = (F n) S = |F| cos(F^n) S = |F|_n S (27)

Пусть F - векторное поле скоростей потока жидкости. Тогда П это объем жидкости, протекающей через S за единицу времени в направлении внешней нормали к S. |F|_n - высотабруса жидкости, S - его основание. Если угол между векторами тупой и cos(F^n) < 0, то направления нормали и потока жидкости противоположны.

Запишем поток в координатной форме П = () S, тогда S, S, S - проекции площадки на координатные плоскости yOz, xOz, xOy, а сам поток распадается на три составляющих потока направленных вдоль координатных осей.Пусть проекции имеют форму прямоугольников, тогда

П = Pdydz + Qdxdz + Rdxdy (28)

Множитель означает, что вклады потоков берутся с учетом ориентации площадки.

Перейдем к поверхности G. Разделим ее на m малых площадок, для каждой определим П_i и просуммируем их П(m) = П_i. Если П_i определяется по формуле (28), то предел m для этой интегральной суммы наз. поверхностным интегралом 2-ого рода

П_G = = = (29)

Опр. Потоком векторного поля F(M) через произвольную поверхность G наз. поверхностный интеграл от скалярного произведения вектора поля и нормального вектора поверхности или поверхностный интеграл 2-ого рода.

Если поток жидкости проходит череззамкнутую поверхность, то входящие и выходящие части потока в интеграле учитываются с противоположными знаками, т.к. они по разному ориентированы относительно внешней стороны поверхности.

Гидродинамический смысл поверхностного интеграла 2 рода - разность между количествами жидкости вошедшими и вышедшими из замкнутой поверхности в единицу времени.

Рассмотрим некоторое неравномерно нагретое тело. Распределение температуры задает скалярное поле U(M). Направление передачи тепла в каждой точке задают нормали к изотермическим поверхностям U(x,y,z) = C, т.е. grad U. Количество передаваемого тепла пропорционально скорости изменения температуры от слоя к слою, т.е. |grad U|.. Поэтому процесс теплопередачи описывает векторное поле F(M) = - k grad U(M) и общее количество тепла прошедшего через некоторую поверхность G равно

Если G замкнутаяповерхность, то поток дает разность между пришедшим и ушедшим теплом из этого объема V. Однако, в V могут быть свои «источники» или «стоки» тепла (перегретые или переохлажденные участки). Если внешний приток тепла равен оттоку и поток > 0, то мощность «источников» тепла внутри объема больше мощности «стоков» и определит разность этих мощностей. Т.о. поток любого стационарного векторного поля устанавливает баланс между «источниками» и «стоками» этого поля в замкнутом объеме.

Пр. Найти поток сферического векторного поля с обратной квадратичной зависимостью F = r / |r|³ (закон Кулона ) через сферу радиуса r.

Решение: нормированный нормальный вектор к любой точке сферы коллинеарен её радиус-вектору n = r /|r| и F n = r r /|r|⁴ = |r| ^-2 – const на сфере. Поэтому

П = = |r|^-2 = S /|r|² = (4 |r|²) / |r|² = 4

Т.о., поток не зависит от радиуса сферы и при |r| 0 оказывается «мощность» точечного «источника», расположенного в центре сферы.

В общем случае поток векторного поля F по замкнутой поверхности G можно отнести к единице объема - П_G / V, где V – объем ограниченный G, затем перейти к пределу V 0 и определить мощность потока из отдельной точки.

Опр. Дивергенцией (расходимостью) векторного поля F(M)в точке Мназ.предел отношения потока по замкнутой поверхности G к объему ограниченному этой поверхностью при стягивании замкнутой поверхности Gв точкуМ

= div F(M) (30)

Знак div определяет наличие источника (+) или стока (-) в точке М, а сама дивергенция их «мощность». Дивергенция вычисляется для всех точек векторного поля и образуют скалярное поле.

Теорема. Дивергенция векторного поля F(M)= {P, Q, R} существует в каждой точке поля, если компоненты вектора и их частные производные непрерывны, и опреде-ся по формуле

div F(M) = P’_x(M) + Q’_y(M) + R’_z(M) (31)

т.е. дивергенция равна сумме частных производных от компонент векторного поля по соответствующим координатам.

Док – во. В выражении для потока (29) используем формулу Остроградского-Гаусса и теорему о среднем для тройного интеграла

П_G = = = V [P’_x + Q’_y + R’_z ]_M^* (32)

При переходе к пределу lim П_G / V при V 0 точка M* M и получаем (31).

Дивергенция есть сумма скоростей изменения компонент поля в окрестности выбранной точки вдоль координатных осей. Если около выбранной точки в направлении координатных осей среднеарифметическая скорость изменения поля положительна, то данная точка является «источником» поля, если отрицательна, то «стоком».

Теперь формулу Остроградского – Гаусса можно переписать в векторной форме

(33)

т.е. интеграл от дивергенции векторного поля по объему равен потоку вектора через поверхность, ограничивающую данный объем. Сумма «мощностей» всех точечных «источников» и «стоков» дает общий результат, т.е. поток поля через поверхность.

Ротор (вихрь) векторного поля.

Опр. Циркуляцией векторного поля. F(M) = {P, Q, R} вдоль замкнутой кривой L наз. криволинейный интеграл от скалярного произведения вектора поля и дифференциала радиус-вектора перемещающегося вдоль кривой

Ц _L = = (34)

Физический смысл циркуляции - работа по перемещению тела в поле переменных сил по произвольной замкнутой траектории, т.к. работа есть скалярное произведения вектора силы и вектора смещения.

Пусть в векторном поле F замкнутый контур L проходит через точки А, B, C, D. Линией АС разделим его на два контура L₁, L₂. Тогда циркуляцию вдоль L можно представить как сумму циркуляций вдоль малых контуров при одинаковом направлении прохождения. Действительно,

Ц₁ + Ц₂ = + + + = + = Ц _L

т.к. общую границу АС проходим дважды в противоположных направлениях. Т.о., циркуляция по контуру L является аддитивной величиной и может быть представлена как сумма циркуляций по малым контурам, полученным путем наложения сетки линий на контур L. В пределе малым участком может оказаться отдельная точка. Тогда циркуляция по контуру сведется к сумме циркуляций вокруг всех точек охваченных контуром L.

Пр. Найти циркуляцию векторного поля F = yi – x j + z k вдоль окружности

x = r cos t, y = r sin t, z = 1 в положительном направлении, т.е. 0 < t < 2

Решение: Ц = = {dx = -r sin t; dy = r cos t; dz = 0} = - r² = -2 r²

Отношение циркуляции к площади круга S = r² постоянно Ц /S = -2, даже при r .

Из этого следует, что циркуляция в самой точке начала координат равна -2.

Циркуляцию векторного поля F(M) по контуру L по формуле Стокса можно представить как интеграл по поверхности G, натянутый на этот контур

Ц _L = = =

= (35)

Выражение в квадратных скобках можно представить как скалярное произведение двух векторов: вектора n = { } и вектора

(R’_y – Q’_z) i + (P’_z – R’_x) j + (Q’_x - P’_y) k rot F (36)

который наз. ротором (вихрем) векторного поля F(M) = {P, Q, R}. В результате формула Стокса принимает следующую векторную форму

= (37)

т.е. циркуляция векторного поля вдоль контура некоторой поверхности равна потоку вихря поля через эту поверхность.

Если в (37) размер G достаточно мал и вектора rot F, n почти не меняются в пределах G, то можно применить теорему о среднем и заменить (rot F n) ее значением в отдельной точке M*. Тогда интеграл по S даст площадь поверхности и

(rot F n)|_M* = 1/S (38)

т.е. ротор характеризует величину циркуляции, приходящуюся на единицу площади поверхности охваченную контуром L. Перейдем в (38) к пределу S 0, тогда M* M и ротор будет характеризовать циркуляцию вокруг отдельно взятой точки.

Опр. Ротором векторного поля F(M) наз. вспомогательное векторное поле rot F(M), вектора которого в каждой точке определяют значение циркуляции вокруг этой точки |rotF(M)| и ориентацию плоскости, в которой эта циркуляция максимальна.

Произведение rot F(M) n(M) = |rot F(M)|cos (rot F^n) максимально при нулевом угле.

Ротор векторного поля F(M) = {P, Q, R} удобно записывать в виде оператора

rot F(M) = x F(M) = (39)

Физический смысл формулы Остроградского-Гаусса – циркуляция по произвольному замкнутому контуру в пространстве складывается из суммы циркуляций всех точек любой поверхности натянутой на этот контур.

Простейшие векторные поля.

а) Трубчатое или соленоидальное векторное поле, если div F = 0.

Через все точки произвольной замкнутой кривой проведем векторные линии поля F. Они образуют сплошную трубку. Нормальный вектор n к ее поверхности векторам поля скалярное произведение F n = 0 и поток через поверхность трубки также равен нулю. Проведем два сечения трубки. Т.к. внутренних «источников» поля нет, то входящие и выходящие через сечения потоки поля совпадают по величине и противоположны по знаку.

б) Потенциальное или безвихревое векторное поле, если rot F = 0. Его можно представить как градиент скалярного поля F(M) = grad U(M), где U(M) – наз. потенциалом векторного поля. Связь между ними: P = U’_x, Q = U’_y, R = U’_z. Компоненты rot F в этом случае есть разность одинаковых смешанных производных и они равны нулю (R’_y – Q’_z)_x = U’’_zy - U’’_yz = 0.

в) Гармоническое векторное поле, если div F = 0, rot F = 0. Потенциал такого поля удовлетворяет волновому уравнению Лапласа, решения которого наз. гармоническими функциями

Устные экзаменационные вопросы

по теме «Элементы теории поля»

1. Общий вид уравнений кривой и поверхности в параметрической форме.
2. Записать в общем виде векторное уравнение кривой в пространстве и объяснить.
3. Как определяются координаты направляющего вектора касательной к кривой, заданной в параметрической форме?
4. Опр. касательной плоскости к произвольной поверхности.
5. Как определяются коор-ты нормального вектора касательной плоскости в общем случае?
6. Опр. гладкой поверхности, её геометрические особенности.
7. Что такое координаты вектора? Их геометрический смысл?
8. Как определяются направляющие косинусы произвольного вектора? Почему?
9. Опр. двухсторонней поверхности.
10. Записать общий вид координат нормального нормированного вектора касательной плоскости гладкой поверхности.
11. Как определяется внешняя сторона гладкой двухсторонней поверхности?
12. Почему лист Мёбиуса оказывается односторонней поверхностью?
13. Что такое площадь плоской фигуры?
14. Опр. площади криволинейной поверхности.
15. Как формулируется задача о массе поверхности? Записать для неё интегральную сумму.
16. Опр. поверхностного интеграла 1 рода.
17. Написать формулу для вычисления поверхностного интеграла 1 рода для гладкой пов-ти.
18. Написать формулы для перехода от декартовой к сферической системе координат. Сделать рисунок. Чему равна площадь сферы?
19. В чем главное геометрическое отличие между потоками жидкости входящим и выходящими из замкнутой поверхности?
20. Опр. поверхностного интеграла 2 рода.
21. Написать формулу для вычисления поверхностного интеграла 2 рода для гладкой поверхности.
22. Написать формулу перехода между поверхностными интегралами 1 и 2 рода.
23. Написать формулу для вычисления объема через поверхностный интеграл.
24. Написать формулу Стокса в координатной и векторной форме. Её смысл.
25. Написать формулу Остроградского-Гаусса в координатной и векторной форме.Её смысл.
26. Что общего в формулах Грина, Стокса, Остроградского-Гаусса и Ньютона-Лейбница?
27. Что такое скалярное поле, линии уровня, поверхности уровня?
28. Определение производной по направлению скалярного поля в точке.
29. Формула для вычисления производной по направлению скалярного поля в точке.
30. Написать формулу для градиента скалярного поля.
31. Определение градиента с.п. в точке.
32. Определение производной по направлению скалярного поля через градиент.
33. Связь градиента скалярного поля с поверхностью уровня. Почему?
34. Опр. векторного поля (в.п.).
35. Опр. сферического в. п..
36. Опр. векторных линий в.п. Вывод общего уравнения для векторных линий.
37. Опр. потока в. п. через бесконечно малую площадку. Векторная и координатная форма записи этого потока.
38. Опр. потока векторного поля через произвольную поверхность. Написать формулы.
39. Гидродинамический смысл поверхностного интеграла 2 рода.
40. Записать векторное поле для процесса теплопередачи. Почему?
41. Вывод потока сферического поля с обратной квадратичной зависимостью через сферу.
42. Опр. дивергенции векторного поля.
43. Написать формулу для вычисления дивергенции, объяснить физический смысл.
44. Прочитать формулу Остроградского-Гаусса в векторной форме. Её физический смысл.
45. Опр. циркуляции векторного поля, ее физический смысл.
46. Доказать, что циркуляция аддитивная величина.
47. Формула для вычисления ротора в.п. Написать формулу для вычисления ротора.
48. Прочитать формулу Стокса в векторной форме. Её физический смысл.
49. Перечислить основные свойства трубчатого векторного поля. Почему оно так называется?
50. Перечислить основные свойства потенциального векторного поля.
51. Перечислить основные свойства гармонического векторного поля.