Опр.Производной с.п. U(x,y,z)в точке M(x,y,z) по направлению l наз. предел отношения приращения функции к пройденному пути по направлению l

lim [U(M₁) – U(M_] / |MM₁| = U / l (22)

M M₁

Теорема. Если функция с.п. U(x,y,z) дифференцируема в и l = {cos , cos , cos }, то

U/ l = ( U/ x) cos +( U/ y)cos +( U/ z) cos (23)

Док-во. Отрезок |MM₁| = есть диагональ прямоугольного паралепипеда со сторонами x, y, z. Он равен = . Координаты точки М₁ можно записать в виде M₁(x+ x, y+ y, z+ z) = M₁(x + cos , y + cos , z + cos ).

По определению приращение дифференцируемой функции нескольких переменных можно представить в виде

+ = +

где lim = 0 при 0. Перейдем к этому пределу в (22) U/ l = lim

и получим формулу (23).

Пр. Вычислить производную с.п. U(M) = x²y – x z³ + 1 в точке М(1;-2;1) в направлении a = 2i – 4j + k.

U/ x |_M = (2xy – z³)|_M = - 5, U/ y|_M = x²|_M = 1, U/ z|_M = -3xz²|_M = -3,

|a| = , U/ a = -5 2/ + 1 (-4)/ -3 1/ = -17/

Ответ: В окрестности точки М в направлении вектора а функция U(M) изменяется в 17/ раз быстрее, чем аргумент, и при этом уменьшается.

Градиент скалярного поля.

Структура выражения (23) совпадает со структурой скалярного произведения двух векторов a и b: a b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z, если величины U/ x, U/ y, U/ z понимать как координаты некоторого вектора. Этот вектор наз. градиентом скалярного поля U(M)

grad U = i + j + k (24)

Он упрощает запись производной с.п. по направлению и является важнейшей характеристикой скалярного поля

U/ l = grad U l (25)

Опр. Производная с.п. по направлению равна скалярному произведению градиента поля на вектор направления, т.е. является проекцией градиента на выбранное направление.

Определим угол между векторами grad U и l

cos = = U/ l = |grad U| cos

Повернем вектор l в сторону вектора grad U. При их совпадении, когда = 0 и cos = 1, U/ l принимает наибольшее значение.

Опр. Вектор grad U определяет направление наибольшего изменения с.п. в точке М и его модуль равен скорости этого изменения.

Опр. grad U является нормальным вектором к поверхности уровня U(x,y,z) = C, проходящей через точку М.

Это следует из общего уравнения касательной плоскости к поверхности U(x,y,z) = =C в точке M₀(x₀, y₀, z₀)

( U/ x)|_M (x – x₀) +( U/ y)|_M(y – y₀) +( U/ z)|_M(z – z₀) = 0

где нормальный вектор касательной плоскости определен в виде N = { , , }, т.е. совпадает с вектором grad U

Пр. Дано с.п. U(M) = xy² + z². Найти наибольшее значение U/ l в точке M(2;1;-1)

Решение:

grad U = y² i + 2xy j +2z k, grad U|_M = i + 4j – 2k, U/ l | _наиб = |grad U|_M = = =

Для обозначения grad U также применяется дифференциальный оператор. Он наз. оператором Гамильтона или набла-опрератором

i + j + k grad U = U

Векторные поля и их характеристики.

Опр. Векторным полем (в.п.) наз. совокупность двух множеств: множество точек пространства М и множество векторов, каждый из которых соотнесен к определенной точке. Вектора определяются векторной функцией F = F(M) = F(x,y,z) = F(r), которая наз. функцией векторного поля.

В координатной форме F(M) = P(x,y,z) i +Q(x,y,z) j + R(x,y,z) k. Компоненты P, Q, R образуют три скалярных поля и однозначно определяют F(r) - векторную функцию от векторного аргумента.

Примеры векторных полей: гравитационное поле Земли, поле скоростей стационарного потока жидкости, электрические и магнитные поля различных систем зарядов, векторное поле градиента скалярного поля, т.к. grad U формирует свой вектор для каждой точки скалярного поля U.

Типы полей: плоское поле F = F(x,y); сферическое поле F = Ф() , где , , F -на сфере имеет постоянную длину и | | нормали к сфере; цилиндрическое поле F = Ф() , где ,

Общие геометрические характеристики векторных полей.