Задача №9. Вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,6

Вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,6. Предприятие закупило 3 телевизора. Требуется: а) найти закон распределения вероятностей дискретной случайной величины X – число телевизоров, потребующих ремонта в течение гарантийного срока; б) определить вид закона распределения вероятностей; в) построить многоугольник распределения; г) составить функцию распределения вероятностей случайной величины и построить ее график; д) вычислить числовые характеристики X; е) найти .

Решение. А) Составим закон распределения случайной величины X. Из трех купленных предприятием телевизоров могут потребовать ремонта в течение гарантийного срока три, два, один телевизор или, вообще, ни один из них может не потребовать ремонта. Поэтому получаем таблицу возможных значений X:

xi
pi	p 0	p 1	p 2	p 3

Найдем вероятности p_i (i =1,2,3,4), используя формулу Бернулли. Если производится серия n независимых испытаний, при каждом из которых вероятность наступления события постоянна и равна p, тогда вероятность того, что это событие в n испытаниях появится ровно k раз, вычисляется по формуле:

, где и q =1- p.

Имеем: p =0,6, q= 1 - 0,6 = 0,4, n= 3. Тогда:

;

;

;

.

Проверим тот факт, что . Действительно, 0,064+0,288+0,432+ +0,216=1. Следовательно, закон распределения X окончательно имеет вид:

xi
pi	0,064	0,288	0,432	0,216

Б) Поскольку при нахождении вероятностей p_i была использована формула Бернулли, то указанная случайная величина имеет биномиальный закон распределения вероятностей.

В) Многоугольник распределения (Рис. 1) – ломаная, звенья которой соединяют точки с координатами (i= 0,1,2,3).

Г) Функция распределения вероятностей случайной величины X определяется равенством F (x)= P (X < x). Имеем:

.

Построим график этой функции (Рис. 2):

Г) Найдем числовые характеристики X.

Математическое ожидание случайной величины X определяется равенством: . Имеем:

.

Для нахождения дисперсии составим закон распределения вероятностей случайной величины X ²:

pi	0,064	0,288	0,432	0,216

Найдем математическое ожидание X ²:

.

Тогда, вычисляя дисперсию случайной величины X по формуле , получаем: .

Среднее квадратическое отклонение случайной величины X находится как . Имеем: .

Д) Для нахождения вероятности попадания случайной величины X в промежуток используем формулу: . Получаем: .