ЗАДАНИЕ 4. Пример: Производится 4 (п = 4) независимых испытания

Пример: Производится 4 (п = 4) независимых испытания. При каждом испытании событие A появляется с одной и той же вероятностью p = 2/3. Составить ряд распределения для числа появлений события A в выборке объема n. Определить вероятность того, что событие A появится не менее двух раз. Найти функцию распределения F (x), математическое ожидание m (x), дисперсию D (x).

Решение: Дискретная случайная величина X, представляющая собой число появлений события A в выборке объема n, имеет следующие возможные значения: . Поскольку испытания независимы и при каждом испытании вероятность появления события A одна и та же, то для определения соответствующих вероятностей применима формула Бернулли . Учитывая, что, по условию, п = 4, p = 2/3 (следовательно, q =1 – p = 1/3), получим

остальные вероятности при m = 2, 3, 4 находятся аналогично.

Составим искомый ряд распределения случайной величины X:

Таблица 1

X
Pi	0,0123	0,0988	0,2963	0,3951	0,1975

Вероятность того, что событие A появится в 6 независимых испытаниях не менее двух раз, найдем следующим образом:

Из табл. 1 и из определения функции распределения случайной величины X следует:

1) если , то , так как значений, меньших числа 0, величина X не принимает;

2) если , то , так как величина X может принять значение 0 с вероятностью 0,0123;

3) если , то , так как в этом случае величина X может принять значение 0 или 1, и по теореме сложения вероятностей имеем

причем события X = 0 и X = 1 несовместные;

4) если , то ;

5) если , то ;

6) если , то , так как событие достоверное и вероятность его равна единице.

Итак, искомая функция распределения имеет вид

Математическое ожидание случайной величины X найдем, исходя из его определения:

Дисперсию можно вычислить, исходя из его определения, однако воспользуемся формулой

которая быстрее ведет к цели.

Найдем математическое ожидание случайной величины :

Тогда .

Вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна p. В задачах 4.1 – 4.25 составить ряд распределения для случайной величины X, представляющей собой число бракованных деталей в выборке объема n. Определить вероятность того, что в выборке будет:

а) ровно k бракованныхдеталей;

б) не более k бракованныхдеталей;

в) ни одна деталь не бракованная.

Найти функцию распределения F (x), математическое ожидание m (x), дисперсию D (x).

4.1.	п = 4	p = 0,8	k = 2
4.2.	п = 3	p = 0,7	k = 2
4.3.	п = 6	p = 0,1	k = 4
4.4.	п = 4	p = 0,3	k = 2
4.5.	п = 5	p = 0,3	k = 4
4.6.	п = 3	p = 0,9	k = 2
4.7.	п = 4	p = 0,8	k = 3
4.8.	п = 5	p = 0,2	k = 4
4.9.	п = 5	p = 0,4	k = 3
4.10.	п = 5	p = 0,7	k = 4
4.11.	п = 5	p = 0,3	k = 3
4.12.	п = 4	p = 0,7	k = 3
4.13.	п = 4	p = 0,5	k = 2
4.14.	п = 4	p = 0,4	k = 3
4.15.	п = 6	p = 0,2	k = 4
4.16.	п = 6	p = 0,3	k = 2
4.17.	п = 5	p = 0,5	k = 4
4.18.	п = 3	p = 0,9	k = 2
4.19.	п = 3	p = 0,7	k = 2
4.20.	п = 4	p = 0,7	k = 3
4.21.	п = 4	p = 0,9	k = 2
4.22.	п = 4	p = 0,4	k = 2
4.23.	п = 5	p = 0,6	k = 4
4.24.	п = 5	p = 0,7	k = 2
4.25.	п = 4	P = 0,4	k = 3

ЗАДАНИЕ 5

Пример: Случайная величина X в интервале задана плотностью распределения ; вне этого интервала . Найти: а) значение постоянного параметра данного распределения; б) функцию распределения F (x); в) математическое ожидание и дисперсию.

Решение: Плотность распределения f  (x) должна удовлетворять условию . Поскольку все возможные значения случайной величины X принадлежат интервалу , то . Отсюда

т.е.