ЗАДАНИЕ 3. Пример: На станции слежения установлены 4 радиолокатора различных конструкций

Пример: На станции слежения установлены 4 радиолокатора различных конструкций. Вероятность обнаружения цели с помощью первого локатора равна 0,86, второго – 0,90, третьего – 0,92, четвертого – 0,95. Наблюдатель наугад включает один из локаторов. Какова вероятность обнаружения цели?

Решение: Обозначим интересующее нас событие через A. Возможны следующие предположения (гипотезы) о том, какой из локаторов был включен для слежения за целью: B ₁ – первый локатор; B ₂ – второй; B ₃ – третий; B ₄ – четвертый. Поскольку все выдвинутые гипотезы по условию равновероятны и сумма вероятностей гипотез равна единице (они образуют полную группу несовместных событий), то

Из условия задачи следует, что

По формуле полной вероятности имеем

3.1. На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что первый автомат дает 0,3 % брака, второй – 0,2 %, третий – 0,4 %. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 1000, со второго – 2000 и с третьего – 2500 деталей.

3.2. Имеются две партии изделий по 12 и 10 штук, причем в каждой партии одно изделие бракованное. Изделие, взятое наудачу из первой партии, переложено во вторую, после чего выбирается наудачу изделие из второй партии. Определить вероятность извлечения бракованного изделия из второй партии.

3.3. Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, переложено 2 шара в урну, содержащую 4 белых и 4 черных шара. Найти вероятность вынуть после этого из второй урны белый шар.

3.4. Трое рабочих обрабатывают однотипные детали. Первый обработал за смену 20 деталей, второй – 25, третий – 15. Вероятность 6рака для первого рабочего равна 0,03, для второго – 0,02, для третьего – 0,04. Из общей выработки за смену наудачу взята и проверена одна деталь, которая оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она обработана вторым рабочим.

3.5. Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий с вероятностью Р₁, Р₂, Р₃, где Р₁ = Р₂ = 0,25, Р₃ = 0,5. Вероятность того, что радиолампа проработает заданное число часов, равно соответственно 0,1; 0,2; 0,4. Определить вероятность того, что радиолампа проработает заданное число часов.

3.6. Сборщик получает в среднем 50 % деталей завода № 1, 30 %– завода № 2, 20 % – завода № 3. Вероятность того, что деталь завода № 1 отличного качества равна 0,9, для заводов № 2 и № 3 эти вероятности равны соответственно 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлечённая наудачу деталь окажется отличного качества.

3.7. В правом кармане имеются 3 монеты по два рубля и 4 монеты по одному рублю, а в левом – 6 монет по два рубля и 3 монеты по одному рублю. Из правого кармана в левый наудачу перекладываются 5 монет. Определить вероятность извлечения из левого кармана монеты в два рубля после перекладывания, если монета берется наудачу.

3.8. Литье в болванках поступает из двух заготовительных цехов: 70 % из первого и 30 % из второго. При этом материал первого цеха имеет 10 % брака, а второго – 20 %. Найти вероятность того, что одна взятая наугад болванка без дефектов.

3.9. На спартакиаду прибыло 20 лыжников, 15 гимнастов и 5 шахматистов. Вероятность выполнить квалифицированную норму такова: для лыжников – 0,85; для гимнастов – 0,6; для шахматистов – 0,8. Случайно вызывается один спортсмен. Какова вероятность, что он выполнит норму? Случайно вызванный спортсмен выполнил норму. Какова вероятность, что он лыжник?

3.10. Три автомата изготовляют одинаковые детали. Их производительность относится как 5:3:2, а стандартные детали среди их продукции составляют в среднем соответственно 99, 98, 97 %. Найти вероятность того, что наудачу взятая из нерассортированной продукции деталь окажется нестандартной.

3.11. Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,6, а для второго – 0,3. В мишени оказалась одна пробоина. Найти вероятность того, что она принадлежит первому стрелку.

3.12. В ящике имеются детали трёх типов: 40 деталей первого типа, 50 деталей второго и 60 деталей третьего, причём окрашенные среди них составляют соответственно 20, 40, 60 %. Найти вероятность того, что наудачу извлечённая из ящика деталь окажется окрашенной.

3.13. Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 7 – с вероятностью 0,7; 4 – с вероятностью 0,6 и 2 – с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок произвёл выстрел, но в мишень не попал. К какой группе вероятнее всего принадлежал этот стрелок?

3.14. Имеются три одинаковые по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров, во втором ящике 10 белых и 10 чёрных шаров, в третьем ящике 20 чёрных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Вычислить вероятность того, что шар вынут из первого ящика.

3.15. Известно, что 96 % выпускаемых заводом изделий отвечает стандарту. Упрощённая схема контроля признаёт пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0,95 и нестандартную с вероятностью 0,05. Определить вероятность того, что изделие, прошедшее упрощённый контроль, отвечает стандарту.

3.16. Два охотника одновременно увидели лису и одновременно выстрелили в нее. Каждый из этих охотников на таком расстоянии обычно в одном случае из трех попадает в лису и убивает её. Какова вероятность того, что лиса будет убита?

3.17. 90 % всходов были признаны здоровыми. Вероятность того, что здоровое растение даёт семена, равна 0,8. Вероятность того, что больное растение даёт семена, равна 0,2. Какова вероятность того, что растение, выбранное наугад, даёт семена?

3.18.Имеются две урны. В первой урне два белых и три чёрных шара, во второй – три белых и пять чёрных. Из первой и второй урн, не глядя, берут по одному шару и кладут их в третью урну. Шары в третьей урне перемешивают и берут из неё наугад один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

3.19. Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность получения нестандартной детали на первом автомате равна 0,076, а на втором – 0,09. Производительность второго автомата вдвое больше, чем первого. Какова вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь нестандартна?

3.20. Счетчик регистрирует частицы трех типов – А, В и С. Вероятность появления этих частиц Р(А) = 0,2; Р(В) = 0,3; Р(С) = 0,5. Частицы каждого из этих: типов счетчик угадывает с вероятностями Р₁ = 0,8; Р₂ = 0,2; Р₃ = 0,4. Счетчик отметил частицу. Определить вероятность того, что это была частица типа В.

3.21. Три автомата различной марки изготавливают детали. Производительность 1-го автомата за смену составляет 40 деталей, 2-го – 35 деталей, 3-го – 25 деталей. Установлено, что имеют скрытые дефекты 2, 3 и 5 % продукции этих автоматов соответственно. В конце смены на контроль взята одна деталь. Найти вероятность того, что эта деталь нестандартна.

3.22. Для контроля продукции из 3 партий взята одна деталь. Как велика вероятность обнаружения бракованной продукции, если в одной партии 1/3 деталей – бракованные, а в двух других все доброкачественные?

3.23. Среди 350 механизмов 160 первого, 110 – второго, 80 – третьего сорта. Вероятность брака среди механизмов первого сорта 0,01, среди второго сорта 0,02, среди третьего сорта 0,04. Берется один механизм. Определить вероятность того, что механизм исправный.

3.24. Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность получения нестандартной детали на первом автомате равна 0,08, а на втором – 0,09. Производительность второго автомата вдвое больше, чем первого. Найти вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь, нестандартна.

3.25. Вся продукция цеха проверяется двумя контролерами, причем первый контролер проверяет 55 % изделий, а второй – остальные. Вероятность того, что первый контролер пропустит нестандартное изделие, равна 0,01, второй – 0,02. Взятое наудачу изделие, маркированное как стандартное, оказалось нестандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверялось вторым контролером.