Геометрическая вероятность. Пересечение событий. Событие состоит в том, что происходят одновременно и событие A, и событие B

Операции с событиями.

Пересечение событий. Событие состоит в том, что происходят одновременно и событие A, и событие B.

Объединение событий. Событие состоит в том, что происходит хотя бы одно из событий A, или B.

Задача 1. Построить вероятностное пространство для подбрасывания трех монеток. Выразить через него события A={первая монетка выпала орлом}, B={вторая монетка выпала орлом}, C={выпало 2 орла}.

Опр. Вероятностное пространство называется дискретным, если оно содержит конечное или счетное число элементарных исходов, и сумма вероятностей, присвоенных элементарным исходам, равна единице.

Теорема (сложения вероятностей)

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴𝐵).

Задача 2. Имеется 40 вопросов, на экзамене студент тянет два из них. Построить вероятностное пространство и найти вероятность того, что:

а) первым ему попадется вопрос от 16 до 25, а вторым от 21 до 30.

б) ни один вопрос не будет из первой половины.

Задача 3. Игральный кубик бросается 10 раз, найти вероятность того, что тройка выпадет 3 раза, а четверка — 4.

Геометрическая вероятность.

В геометрической вероятности рассматривается самый простой вид континуальных вероятностных пространств. Множеством элементарных исходов здесь является некоторая фигура на плоскости. Событием – подмножество этой фигуры, а вероятность определяется следующим образом:

Опр. Вероятностью события называется отношение площади множества, описывающего данное событие, к площади всего вероятностного пространства.

Задача 4. В ходе технологической обработки концентрация вещества A случайна и равномерно распределена от 0.5 до 1, концентрация вещества B—от 0 до 1. Реакция проходит, когда концентрация вещества A больше чем вдвое превышает концентрацию вещества B, найти вероятность прохождения

реакции.

Опр. Условной вероятностью события A при условии события B (P(𝐵) > 0) называется величина

𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴𝐵) / 𝑃(𝐵), 𝑃(𝐵) > 0.

Замечание. Для условной вероятности выполняются все те же интуитивно очевидные аксиомы, что и для обычной, в частности выполнена теорема сложения вероятностей: P(𝐴 ∪ 𝐵|𝐶) = P(𝐴|𝐶) + P(𝐵|𝐶) − P(𝐴𝐵|𝐶).

Опр. Два события называются независимыми, если выполнено соотношение (𝐴𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵).

Задача 5. События 𝐴 и 𝐵 независимы. Чему равна условная вероятность 𝐴 по 𝐵?

Опр. События 𝐴1,...,𝐴𝑛 называются независимыми в совокупности, если для любого подмножества {𝑖1,..., 𝑖𝑘} выполняется P(𝐴𝑖1...𝐴𝑖𝑘) = P(𝐴𝑖1) ・... ・ P(𝐴𝑖𝑘).

Задача 6. В партии товара из 10 единиц 3 бракованные. Контролер случайным образом выбирает товар для проверки до тех пор, пока не обнаружит брак. Найти вероятность, что он сделает всего 2 попытки.