	Главная \| Случайная страница \| Контакты \| Мы поможем в написании вашей работы!

Напрямок опуклості функції. Точки перегину

⇐ Предыдущая 12

Визначення. Нехай функція визначена на . Кажуть, що є опуклою униз (опуклою вверх) функцією на , якщо для будь-яких двох точок і , які належать графіку , дуга, яка з’єднує ці точки, лежить під (над) хордою (рис.7(а) — функція, опукла униз; рис.7(б) — функція, опукла уверх).

Твердження. Нехай функція визначена і двічі диференційована на . Для того, щоб була опуклою вниз (уверх) на необхідно і достатньо, щоб

на .

Визначення. Нехай функція визначена на , . Точка називається точкою перегину для функції , якщо в ній змінюється напрямок опуклості функції (рис.8).

Необхідна умова точки перегину. Нехай функція визначена на , — точка перегину функції. Тоді обов’язково виконується одна з наступних умов:

1) в точці не існує похідна другого порядку функції ;

2) .

Таким чином, точки, які є підозрілими на перегин, — це точки, де похідна другого порядку не існує чи дорівнює 0. В таких точках перегин може бути чи може і не бути. Потрібно перевірити достатні умови для перегину.

Перша достатня умова точки перегину. Нехай функція визначена на і двічі диференційована на цьому інтервалі скрізь, за винятком, можливо, точки . Якщо існують такі лівий і правий напівоколи точки , в кожному з яких зберігає знак, то

1) функція має в точці перегин, якщо має значення різних знаків в відповідних напівоколах;

2) функція не має в точці перегину, якщо праворуч і ліворуч від має значення однакових знаків.

Друга достатня умова точки перегину. Нехай функція визначена і двічі диференційована на і виконуються умови:

1) ;

2) в точці існує похідна третього порядку ,

тоді має перегин в точці .

Для того, щоб знайти точки перегину, треба:

Знайти область визначення ;
Обчислити , ;
Для визначити значення , в яких похідна другого порядку не існує або дорівнює нулю. Зі знайдених значень вибрати лише ті, які належать області визначення функції, — це точки, підозрілі на перегин (для наочності має сенс зобразити область визначення функції й точки, підозрілі на перегин, на числовій осі). Ці точки розіб'ють область визначення на частки;
На кожній з часток області визначення функції, отриманих на кроці 3, визначити знак ;
Для кожної точки, підозрілої на перегин, проаналізувати знак похідної другого порядку ліворуч і праворуч від неї: якщо змінює знак, то аналізуєма точка — точка перегину, інакше перегину немає.

Приклад 7. Визначити інтервали опуклості уверх та униз, та точки перегину кривої Гаусса

Область визначення — ;

Для немає точок, де вона не існує. Знайдемо нулі похідної другого порядку:

Обидві знайдені точки належать області визначення функції і є підозрілими на перегин. Вони розбивають область визначення на три частки:

Визначимо знак на кожній з отриманих на попередньому кроці часток. Нехай . Візьмемо якесь значення з цієї множини, наприклад -10, і визначимо знак . Оскільки , а для будь-якого , то знак можна визначати лише за знаком , тому легко отримати, що . Це означає, що на . Нехай . Обчислюючи знак , робимо висновок, що на всьому проміжку . Аналогічно встановлюється, що на .
Аналізуючи знак , робимо висновок, що обидві точки

є точками перегину (рис.9).

Приклад 8. Знайти точки перегину функції

Область визначення функції — .

Похідна другого порядку не існує в точці , яка належить області визначення, а тому є підозрілою на перегин; , тому інших підозрілих на перегин точок нема. Результати проведених досліджень представлені на рис.10, з чого витікає, що — точка перегину поданої функції.

Приклад 9. Знайти точки перегину функції

Область визначення функції: .

Похідна другого порядку існує скрізь на області визначення функції; знайдемо нулі :

єдина точка, підозріла на перегин. Результати проведених досліджень представлені на рис.11.

Таким чином, — точка перегину.

Асимптоти

Визначення. Якщо точка безупинно переміщується по кривій так, що хоча б одна з координат точки прямує до нескінченності, і при цьому відстань точки від деякої прямої наближається до 0, то ця пряма називається асимптотою кривої .

Визначення. Якщо існує число таке, що

, (4.1)

то пряма є вертикальною асимптотою графіка .

З визначення вертикальної асимптоти витікає, що відповідне число може бути

1) розривом другого роду для поданої функції,

2) точкою, яка знаходиться на межі області визначення функції.

Саме такі значення потрібно перевіряти на вертикальні асимптоти.

Визначення. Якщо існують обидві границі

то пряма буде правої похилою асимптотою (у випадку — правою горизонтальною асимптотою) графіка .

Якщо існують обидві границі

то пряма буде лівої похилою асимптотою (у випадку — лівою горизонтальною асимптотою) графіка .

Зауваження. Якщо область визначення функції є множиною, обмеженою зверху, її графік не може мати правої похилої (горизонтальної) асимптоти, бо така функція просто не визначена для . Аналогічно, якщо область визначення — це множина, обмежена знизу, то графік функції не може мати лівої похилої (горизонтальної) асимптоти.

Зауваження. Якщо функція є періодичною, її графік не має похилих (горизонтальних) асимптот.

Для знаходження асимптот графіка функції треба:

Знайти — область визначення ;
Якщо множина обмежена (обмежена знизу, чи зверху), тобто існує і (чи) , обчислити

Якщо перша (друга) границя дорівнює , то пряма () є вертикальною асимптотою графіка.

Знайти точки розриву функції другого роду, тобто такі точки , для яких хоча б одна з однобічних границь

дорівнює нескінченності. Якщо такі точки є, то — вертикальні асимптоти графіка.

Права (ліва) похила асимптота може існувати у графіка функції лише тоді, коли область визначення функції є необмеженою зверху (знизу), і функція є неперіодичною. У такому випадку перевіряємо одночасне існування границь

для правої асимптоти (якщо вони обидві існують, то — асимптота),

і (чи) одночасне існування границь

для лівої (при існуванні — ліва асимптота)

Приклад 10. Знайти асимптоти кривої

Область визначення функції — , де підкореневий вираз знаменника додатний. В усіх точках області визначення подана функція є неперервною, бо вона є відношенням двох неперервних функцій, при тому знаменник не дорівнює нулю. З неперервності функції на області визначення витікає, що на множині немає таких значень , щоб віконувалась рівність (4.1), бо в точках неперервності . Тому, якщо вертикальні асимптоти є, то вони можуть знаходитися лише на межах області визначення, тобто це можуть бути лише . Перевіримо їх. Нехай спочатку :

тобто дійсно вертикальна асимптота.

Аналогічно:

що говоре про наявність ще однієї вертикальної асимптоти .

Знайдемо похилі асимптоти:

Таким чином права похила асимптота існує, це пряма .

Аналогічно маємо:

тому ліва похила асимптота — це пряма .

Приклад 11. Знайти асимптоти кривої

Область визначення функції — . На області визначення подана функція є неперервною як сума двох неперервних, тому на множині немає таких значень , щоб виконувалась рівність (4.1), бо в точках неперервності . Тому, якщо вертикальні асимптоти є, то вони можуть знаходитися лише на межах області визначення, тобто це може бути тільки . Перевіримо це:

Таким чином, дійсно, пряма є вертикальною асимптотою поданої функції.

Перевіримо наявність похилої правої асимптоти:

Оскільки друга границя не існує, то похилої правої асимптоти немає.

Подана функція визначена лише в правій координатній напівплощині, тому лівої похилої асимптоти вона мати не може.

Отже, для функції існує єдина вертикальна асимптота .

Приклад 12. Знайти асимптоти кривої

Знайдемо область визначення функції:

Отже, область визначення: .

В усіх точках області визначення подана функція є неперервною, бо вона є відношенням двох неперервних функцій, при тому знаменник не дорівнює нулю. З неперервності функції на області визначення витікає, що на множині немає таких значень , щоб виконувалась рівність (4.1). Тому, якщо вертикальні асимптоти є, то вони можуть знаходитися лише на межах області визначення, тобто це може бути тільки . Перевіримо:

тому — вертикальна асимптота.

Знайдемо похилі асимптоти, якщо вони є. Почнемо з правої:

Таким чином права похила асимптота є горизонтальною: .

Для лівої похилої асимптоти:

тому ліва похила асимптота також є горизонтальною: .

Схема побудови графіка функції

При побудові графіка функції доцільно:

Знайти область визначення функції й з'ясувати характер поведінки функції (обчислити границі) на межах області визначення, а також, коли , якщо функція там визначена;
З'ясувати, чи є функція парної, непарною, загального виду;
З'ясувати, чи є функція періодичною;
Знайти точки перетинання функції з осями координат;
Знайти точки розриву функції й з'ясувати характер розривів;
Знайти асимптоти функції;
Обчислити . Використовуючи похідну, визначити проміжки монотонності функції й точки екстремума;
Обчислити . Використовуючи похідну другого порядку, визначити проміжки опуклості уверх (униз) функції й точки перегину.

Визначення. Функція , областю визначення якої є множина , називається парною, якщо одночасно виконуються наступні умови:

1) Множина симетрична відносно початку координат (точки 0);

2) Для будь-якого аргументу має місце рівність:

Зауваження. Графік парної функції є симетричним відносно осі ОУ, тому для скорочення роботи по дослідженню функції для побудови її графіка, можна розглядати її лише для додатних аргументів. Це дасть можливість побудувати частину графіка, яка розташована в правій координатній напівплощині, а потім відобразити цю частку симетрично ОУ для отримання повного графіка.

Визначення. Функція , областю визначення якої є множина , називається непарною, якщо одночасно виконуються наступні умови:

1) Множина симетрична відносно початку координат (точки 0);

2) Для будь-якого аргументу має місце рівність:

Зауваження. Графік непарної функції є симетричним відносно початку координат — точки (0,0), тому для скорочення роботи по дослідженню функції для побудови її графіка, можна розглядати її лише для додатних аргументів. Це дасть можливість побудувати частину графіка, яка розташована в правій координатній напівплощині, а потім відобразити цю частку симетрично відносно точки (0,0) для отримання повного графіка.

Визначення. Нехай функція визначена на множині . Число називається періодом функції , якщо для будь-якого значення аргумента , значення також належать області визначення функції і при цьому:

Числа , де , також будуть періодами . Сама функція в цьому випадку називається періодичною.

Зауваження. Якщо функція є періодичною, а — її найменьший додатний період, то для побудови графіка з найменьшими обчислювальними витратами має сенс досліджувати функцію на будь-якому проміжку області визначення, довжина якого дорівнює . Побудувавши графік на такому проміжку, повний графік функції отримаємо за допомогою паралельних переносів вздовж осі ОХ в додатному і від’ємному напрямках на відстані , .

Приклад 13. Побудувати графік функції

Знаходимо область визначення функції:

т.е. .

Область визначення функції симетрична щодо точки 0, крім того,

тобто функція є непарною, її графік симетричний відносно початку координат. У силу цього будемо досліджувати функцію тільки в правій координатній напівплощині.

Функція не є періодичною.
Точки перетинання функції з віссю ОХ:

;

з віссю ОУ:

Точками розриву функції є . У силу непарності функції визначимо характер розриву тільки для точки :

із чого відразу випливає, що, по-перше, в точці є розрив другого роду, а по-друге, що пряма є вертикальною асимптотою. Для зручності побудови графіка обчислимо також другу однобічну границю:

Залишилося з'ясувати питання з похилими асимптотами. Будемо розглядати тільки праву похилу асимптоту. Для цього обчислимо

Таким чином, правої похилої асимптоты, а в силу симетричності графіка функції, і лівої, не існує.

Обчислимо похідну функції:

Знайдемо проміжки монотонності й точки екстремума функції, для чого визначимо значення аргументу, у яких дорівнює нулю або не існує (це точки, підозрілі на екстремум). Розглядаємо функцію тільки в додатній напівплощині.

Похідна існує у всіх точках області визначення функції, тому залишилося знайти тільки нулі похідної:

Результати проведених досліджень представлені на рис.11, звідки випливає, що точка є точкою локального мінімума.

Похідна другого порядку існує скрізь на області визначення функції, тому підозрілими на перегин будуть лише точки, в яких :

Результати дослідження напрямків опуклості функції і перегинів представлені на рис.12.

Всі результати проведених досліджень зручно звести в одну таблицю:

Користуючись результатами дослідження, поступово будуємо графік функції. Розглядається поки тільки додатна координатна напівплощина. Спочатку нанесемо характерні точки графіка — точки перетинання з осями координат, точки екстремума, перегину, а також асимптоти (рис.13(а)).

Область визначення функції у правій напівплощині характерними точками розділилася на 4 частки: . Розглянемо . На цьому інтервалі функція приймає від’ємні значення, тому графік буде знаходитися в нижній координатній напівплощині (область розташування графіка зафарбована на рис.13(б)); функція спадає, починаючи з точки (0,0), яка належить графіку. Це може відбуватися відповідно до одного з трьох варіантів, представлених на рис.14: функція є опуклою вверх (рис.14(а)), униз (рис.14(б)), є одночасно опуклою і вверх і вниз (графік є прямою лінією) (рис.14(в)).

Однак, враховуючи, що функція опукла вверх на , варіант, представлений на рис.14(б), відпадає. Варіант рис.14(в) також не підходить, оскільки при попередньому дослідженні було отримано, що при необмеженому наближенні аргументу до 1 зліва, функція прямує до (пункт 5 дослідження), не перетинаючи вертикальну асимптоту, а для варіанта рис.14(в) перетинання із прямої було б обов'язковим. Одержуємо потрібний варіант, який представлений на рис.15.

Розглянемо . На цьому інтервалі функція приймає додатні значення, тому графік буде знаходитися у верхній координатній напівплощині (область розташування графіка зафарбована на рис.16(а)); функція спадає з (в пункті 5 дослідження встановлено, що ) до точки локального мінімума , будучи опуклої вниз, що відповідає рис.16(б).

Враховуючи додатність функції на , її монотонне зростання від точки до , яке відбувається при опуклості функції вниз, одержуємо чергову частину графіка, що відповідає інтервалу (рис.16(в)).

При переході графіка функції через точку перегину , функція змінює напрямок опуклості, залишаючись додатною й монотонно зростаючою (рис.16(г)).

Для одержання повного графіка функції скористаємося його симетричністю відносно початку координат (рис.17).

Приклад 14. Побудувати графік функції

Знаходимо область визначення функції. Чисельник визначений при , знаменник при

Таким чином, область визначення: .

Область визначення функції симетрична відносно точки 0, крім того,

тобто функція є непарною, і її графік симетричний відносно початку координат. У силу цього будемо досліджувати функцію тільки в правій координатній напівплощині.

Функція не є періодичною.
Точки перетинання функції з віссю ОХ:

;

з віссю ОУ:

На області визначення функція є неперервною як відношення двох неперервних функцій, у якім знаменник не приймає нульових значень.
Асимптоти функції. Оскільки функція неперервна на області визначення, вертикальні асимптоти можуть бути тільки на межах області визначення. Перевіримо :

що говоре про те, що — вертикальна асимптота.

Оскільки область визначення функції — обмежена множина, то похилих асимптот у її графіка існувати не може.

Обчислимо похідну функції:

Знаменник дробу додатний, тому знак похідної буде визначатися знаком чисельника. Оскільки знаки і співпадають, то , крім того , тому чисельник також додатний. Таким чином, на області визначення функції , що говоре про її монотонне зростання.

Результати дослідження напрямків опуклості функції і перегинів представлені на рис.18, а графік на рис.19.

Приклад 15. Побудувати графік функції

Область визначення функції. Функція існує тільки в тих значеннях аргумента, де . Розв’яжимо рівняння:

Таким чином, область визначення функції: .

Область визначення функції несиметрична відносно точки 0, тому без усяких додаткових досліджень можна сказати, що функція не буде ні парною, ні непарною, а є функцією загального виду.
Функція є періодичною з найменшим додатним періодом . У силу цього далі досліджуємо функцію на сегменті довжини , наприклад, .
Точок перетинання функції з віссю ОХ немає, оскільки ; з віссю ОУ:

Сегменту належать дві точки, які не входять в область визначення функції: , де вона має розриви. З'ясуємо характер цих розривів:

Таким чином, в точках функція має розриви другого роду.

З попереднього пункту дослідження витікає, що прямі і є вертикальними асимптотами графіка. Похилих асимптот, у силу періодичності функції, існувати не може.
Обчислимо похідну функції:

Похідна існує скрізь на області визначення функції, тому підозрілими на екстремум будуть тільки точки, в яких :

На таких точок дві: . Результати дослідження похідної на сегменті представлені на рис.20.

Похідна другого порядку існує скрізь на області визначення функції, крім того, оскільки чисельник строго більше нуля, то , таким чином точок перегину у функції нема. З’ясуємо характер опуклості графіка функції на (рис.21):

Всі результати проведених досліджень зручно звести в одну таблицю:

Повністю графік поданої періодичної функції представлений на рис.22, де синім кольором відзначена частина графіка, побудована після дослідження властивостей функції на відрізку .

Приклад 16. Побудувати графік функції

Область визначення функції: . Досліджуємо поведінку функції на «межах» області визначення, які в цьому випадку вироджуються в :

Область визначення функції симетрична відносно точки 0. Розглянемо :

Таким чином, функція є функцією загального виду.

Функція не є періодичною.
Точки перетинання з віссю ОХ:

;

з віссю ОУ:

На області визначення функція є неперервною.
Асимптоти функції. Оскільки функція неперервна на області визначення, а область визначення є необмеженою як знизу так і зверху множиною, то вертикальні асимптоти відсутні. Перевіримо існування похилих:

з чого витікає, що пряма є правою похилою асимптотою. Аналогічно

Таким чином, — ліва похила асимптота.

Обчислимо похідну функції:

Очевидно, на всій області визначення, тому функція є монотонно спадаючою, не має точок екстремума.

Підозрілими на перегин є точки, в яких похідна другого порядка не існує — це , та в яких — це . Результати дослідження напрімків опуклості функції і перегинів представлені на рис.23.

Для зручності всі результати дослідження функції занесемо в одну таблицю:

На першому етапі побудови графіка відзначимо на координатній площині всі характерні точки, а також асимптоти (рис.24(а)).

Область визначення розділилася на 3 частини: . Розглянемо кожну частину окремо. Нехай . На цій множині функція додатна, отже графік знаходиться в верхній координатній напівплощині (рис.24(б)), функція спадає з (пункт 1 дослідження: ) до точки , не перетинаючи ліву похилу асимптоту , спадання відбувається при опуклості графіка униз. Все це відповідає рис.24(в).

Нехай . Тут функція додатна, графік знаходиться в верхній координатній напівплощині (рис.24(г)), спадає з точки до точки , є опуклим уверх. Це відповідає рис.24(д).

Залишилося розглянути підмножину області визначення . На цій області функція приймає від’ємні значення, тому відповідна частина графіка розташована в нижній координатній напівплощині (рис.24(е)). Функція тут спадає з точки до (пункт 1 дослідження: ), є опуклою вниз, не перетинає праву похилу асимптоту . Повний графік функції представлений на рис.25.

Рис.24.

Рис.25.

Приклад 17. Побудувати графік функції

Область визначення функції знаходиться з одночасного виконання умов:

Таким чином, .

Досліджуємо характер поведінки функції на межах області визначення:

У такий спосіб встановлено, що прямі — вертикальні асимптоти.

Область визначення функції симетрична відносно точки 0. Розглянемо :

Таким чином, функція є непарною, її графік симетричний відносно початку координат — точки (0,0). Для спрощення роботи будемо далі досліджувати функцію тільки для додатних значень аргументу.

Функція не є періодичною.
Точок перетинання з віссю ОХ немає, тому що не приймає нульових значень, оскільки в чисельнику дробу, який визначає , знаходиться відмінна від нуля стала. Не буде також і точок перетинання з віссю ОУ, оскільки не входить в область визначення функції.
На області визначення функція є неперервною.
Вертикальні асимптоти функції були знайдені в пункті 1. Інших вертикальних асимптот бути не може, оскільки на області визначення функція неперервна. Перевіримо існування правої похилої асимптоти:

з чого витікає, що пряма є правою похилою (горизонтальною) асимптотою.

Обчислимо похідну функції:

Похідна першого порядку не існує в точках , які не належать області визначення функції, при , які також не входять до області визначення. Таким чином, точок екстремума у функції немає. При похідна , тому функція є монотонно спадаючою в правій координатній напівплощині.

Похідна другого порядка не існує в точках , які не належать області визначення функції. Знайдемо точки, в яких :

Отримали біквадратне рівняння. Зробимо заміну: , яка останнє рівняння приведе до виду:

яке не має дійсних коренів, оскільки його дискримінант . Отже, точок, в яких , немає, а тому немає і точок перегину у поданої функції. При , а функція опукла униз.

Результатом дослідження є частина графіка, побудована на області (рис.26(а)), повний графік представлений на рис.26(б).

Рис.26.

Приклад 18. Побудувати графік функції

Область визначення функції знаходиться з умови: . Таким чином,

Область визначення функції симетрична відносно точки 0. Розглянемо :

Таким чином, функція є парною, її графік симетричний відносно осі ОУ. Для спрощення роботи будемо далі досліджувати функцію тільки для додатних значень аргументу.

Функція є періодичною. Найменший додатний період — . У силу цього досліджуємо властивості функції на сегменті довжини , наприклад, . Області визначення функції з цього сегмента належить лише інтервал . Враховуючи парність функції, далі будемо її розглядати на .
Точок перетинання з віссю ОХ немає: , тобто перший доданок в виразі, який визначає функцію, додатний; оскільки аргумент функції натурального логарифма знаходиться в межах від 0 до 1, тоді , а .

Точки перетинання з віссю ОУ: .

На області визначення функція є неперервною.
Завдяки пункту 5 вертикальні асимптоти можуть бути тільки на межах області визначення, тому перевіримо :

з чого витікає, що пряма є вертикальною асимптотою.

Оскільки функція періодична, то похилих асимптот не буде.

Обчислимо похідну функції:

Похідна першого порядку існує в усіх точках області визначення, тому підозрілими на екстремум будуть тільки такі значення аргументу , в яких :

Результати дослідження похідної першого порядку представлені на рис.27.

Оскільки , то , а . Крім того, знаменник . Таким чином, , а функція є опуклою вниз.

На першому кроці побудови графіка нанесемо на координатну площину характерні точки графіка й асимптоти на проміжку

⇐ Предыдущая 12

Дата публикования: 2015-01-04; Прочитано: 1930 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!

studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2025 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.008 с)...