Побудова графіків функцій

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

ДО ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ ЗА ТЕМОЮ

ПОБУДОВА ГРАФІКІВ ФУНКЦІЙ

ЗА КУРСОМ «МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ»

Одеса ОНПУ 2009

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Затверджено

на засіданні кафедри ІММЗІС

протокол № 3 від 20 жовтня 2009 р.

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

ДО ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ ЗА ТЕМОЮ

«ПОБУДОВА ГРАФІКІВ ФУНКЦІЙ»

ЗА КУРСОМ «МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ»

для студентів спеціальностей 6.040302 — Інформатика, 6.040301 — Прикладна математика

Одеса ОНПУ 2009

Методичні вказівки до практичних занять за темою «Побудова графіків функцій» за курсом «Математичний аналіз» для студентів спеціальностей 6.040302 – Інформатика, 6.040301 – Прикладна математика. / Укл. А.А. Кобозєва. – Одеса: ОНПУ, 2009. – 53 с.

Укладач: А.А. Кобозєва,

д.т.н.,доцент

1. Постановка задачі

Потрібно побудувати графік функції

, (1.1)

при цьому основною метою є одержання по можливості найбільш точної характеристики процесу зміни функції: де функція зберігає характер монотонності, де досягає екстремумів, який характер опуклості, як функція поводиться на нескінченності (при необмеженій області визначення), характер точок розриву і т.д.

Спосіб побудови графіка функції «по точках», узятих більш-менш густо, але випадково й без відношення до (невідомих наперед) особливостей графіка, непридатний. Він, насамперед, вимагає обчислення великої кількості координат, що практично незручно. Але головне в іншому: він непридатний принципово, тому що саме через випадковість ординат, що обчислюються, він не забезпечує досягнення поставленої мети: побудови цілісної картини поведінки функції на всій області визначення.

Для досягнення цієї мети необхідно скористатися методами диференційного числення.

1. Екстремуми функції однієї змінної

Визначення. Будемо казати, що функція монотонно зростає (спадає) на , якщо для таких, що , буде витікати (рис.1(а)) ( (рис.1(б))).

Нехай функція неперервна на і диференційована на , до того ж () на , тоді зростає (спадає) на цьому сегменті.

Таким чином, для того, щоб дослідити функцію на зростання і спадання, визначити проміжки монотонності треба:

1. Знайти область визначення функції (нехай для конкретики це буде ).
2. Обчислити похідну .
3. Знайти такі аргументи ,..., функції з її області визначення, в яких

а) похідна не існує;

б) .

Ці точки разіб’ють всю область визначення на частки, де зберігає знак, а зберігає характер монотонності. Для зручності й наочності всі ці точки разом з областю визначення має сенс винести на координатну вісь ОХ (рис.2).

1. На кожному з отриманих на попередньому кроці відрізків області визначення встановити знак і відповідний характер монотонності : якщо для , то на сегменті функція зростає (спадає).

Приклад 1. Дослідити на зростання й спадання функцію

.

1. Область визначення поданої функції — вся множина дійсних чисел .
2. Знайдемо похідну :

.

1. Похідна існує скрізь на , тому треба лише визначити точки, де вона дорівнює 0:

.

Отримаємо два проміжки, на яких похідна зберігає знак, а функція зберігає характер монотонності: .

1. З’ясуємо знак похідної на проміжку . Для цього достатньо підставити в замість якесь конкретне значення з множини , наприклад, -1: . Це означає, що на похідна , а функція монотонно спадає (рис.3). Розглянемо тепер . Підставляючи в вираз для похідної будь-яке значення з множини , наприклад, 10, отримаємо: , тому на множині похідна , а функція монотонно зростає (рис.3).

Приклад 2. Визначити проміжки зростання й спадання функції

.

1. Знаходимо область визначення поданої функції. Взагалі функція визначена, коли її аргумент . Тому для поданої функції її аргумент повинен задовольняти умові:

.

Отже, область визначення функції — .

1. Знаходимо похідну поданої функції:

.

1. Для похідної обчислимо спочатку значення, де вона не існує. Це відбувається у точках, для яких

,

тобто . Області визначення поданої функції належать лише точки .

1. З виразу для знайденої похідної витікає, що в точках, де вона існує, вона може приймати лише строго додатні значення: арифметичний квадратний корінь знаменника завжди додатний, а оскільки чисельник — це стала, яка не дорівнює 0, то не може приймати нульові значення. Отже, на області визначення — — подана функція є монотонно зростаючою.

Приклад 3. Визначити проміжки зростання і спадання функції

.

Область визначення функції: . Похідна

на всій області визначення, тому подана функція спадає на і спадає на .

Визначення. Нехай функція визначена на . Кажуть, що має локальний максимум (локальний мінімум) в точці , якщо існує такий окіл точки , що

.

Локальний максимум (минимум) називається строгим, якщо окіл можна обрати так, що

.

Точки локального мінімума і локального максімума функції називаються точками її локального екстремума.

Необхідна умова локального екстремума. Нехай функція визначена на і має локальний екстремум в точці . Тоді обов’язково виконується одна з наступних умов:

1) в точці не існує похідна функції ;

2) .

Таким чином, точки, в яких функція недиференційована, чи її похідна дорівнює 0, є точками, підозрілими на екстремум: в цих точках екстремум може бути, а може не бути. Треба застосовувати для таких підозрілих точок достатні умови екстремума.

Перша достатня умова локального екстремума. Нехай функція визначена на і диференційована на цьому інтервалі скрізь, за винятком, можливо, точки , в якій функція неперервна. Якщо існують такі лівий і правий напівоколи точки , в кожному з яких зберігає знак, то

1) функція має локальний екстремум в точці , якщо похідна має значення різних знаків в відповідних напівоколах, а саме: якщо при проходженні через точку змінює знак з «+» на «-», то — точка локального максімума, якщо знак похідної змінюється з «-» на «+» — локального мінімума;

2) функція не має локального екстремума в точці , якщо похідна справа і зліва від має значення однакових знаків.

Друга достатня умова локального екстремума. Нехай функція визначена на і виконуються умови:

1) ;

2) в точці існує похідна другого порядку ,

тоді має локальний екстремум в точці , а саме: локальний максімум, якщо

,

локальний мінімум, якщо

.

Третя достатня умова локального екстремума. Нехай найменьший порядок похідної функції в точці , яка не дорівнює 0, це , тобто

.

Тоді

1) якщо — парне, то має локальний максімум в точці , якщо

,

чи локальний мінімум, якщо

;

2) якщо — непарне, то екстремума в точці немає.

Найчастіше в наступних прикладах буде використовуватися перша достатня умова локального екстремума. Враховуючи це, дамо покроковий алгоритм знаходження точок екстремума функції.

Для того, щоб знайти точки екстремума функції, треба:

1. Знайти область визначення ;
2. Обчислити ;
3. Для визначити значення , в яких похідна не існує або дорівнює нулю. Зі знайдених значень вибрати лише ті, які належать області визначення функції — це точки, підозрілі на екстремум (для наочності має сенс зобразити область визначення функції й точки, підозрілі на екстремум, на числовій осі ОХ). Ці точки розіб’ють область визначення на частки;
4. На кожній з часток області визначення функції, отриманих на кроці 3, визначити знак похідної;
5. Для кожної точки, підозрілої на екстремум, проаналізувати знак похідної ліворуч і праворуч від неї: якщо похідна змінює знак з «+» на «-», то аналізуєма точка — точка локального максімума, якщо знак похідної змінюється з «-» на «+» — локального мінімума, інакше екстремума в аналізуємій точці немає.

Приклад 4. Знайти екстремуми функції

.

1. Область визначення функції — ;

1. .
2. Похідна не існує при , і

.

Отже, точки, які є підозрілими на екстремум, — це і , які обидві належать області визначення. Вся область визначення розподілилася на 3 частини: , і .

1. Визначимо знак похідної на кожній частині:

Нехай . Візьмемо довільно значення з цієї області і обчислимо там похідну, наприклад, :

.

Отже, , коли .

Нехай тепер . Перевіримо :

,

тому , коли .

Нехай нарешті . Перевіримо, наприклад, :

,

тому , коли .

1. Аналізуючи знаки похідної до і після точки, підозрілої на екстремум, робимо висновки: — точка локального максімума, — точка локального мінімума (рис.4).

Приклад 5. Дослідити на екстремум функцію

.

1. Область визначення функції: , .

1. ;

1. Похідна не існує в точках , , які не належать області визначення; в точках з області визначення функції. Дві останні точки є підозрілими на екстремум. Результати проведених досліджень представлені на рис.5.

Таким чином, — точка локального максімума, — точка локального мінімума.

Приклад 6. Дослідити на екстремум функцію

.

1. Область визначення функції — .

1. .

1. Похідна не існує в точці , яка не належать області визначення; в точці , яка належить області визначення функції і є єдиною підозрілою на екстремум. Результати проведених досліджень представлені на рис.6. Таким чином, — точка локального мінімума.