Модели надежности

Надежность устройства (системы, элемента) - это вероятность его безотказной работы за время .

¨ Задача о дублировании.

приборов работают независимо и дублируют друг друга. Найти вероятность прохождения сигнала в системе, если надежность каждого прибора известна ().

Решение.

Сигнал проходит в системе, если он проходит по крайней мере по одному из приборов (обозначим как событие ). События, которые отвечают прохождению сигнала по первому, второму и т.д. приборам обозначим соответственно как . По определению суммы событий имеем . События совместны, так как сигнал может проходить и по одному прибору, и по двум, и по трем и т.д. Использование теоремы 3 для определения вероятности А приводит в таком случае к довольно сложным расчетам. Поэтому удобнее перейти к противоположному событию - сигнал не проходит, то есть не работают все приборы (событие ). По определению произведения событий . События, которые являются множителями, независимы по условию задачи, то есть используя правило умножения имеем . В свою очередь по теореме 2 , откуда получаем конечную формулу для вероятности А, учитывая, что по той же теореме для любого i-го прибора.

.

Приведенная выше задача имеет широкое применение в самых разнообразных областях человеческой деятельности. Поэтому мы обобщим ее решение следующей теоремой.

v Теорема 4. Вероятность хотя бы одного из событий , независимых в совокупности, равно разности между единицей и произведением противоположных событий . Обозначим ,

P(A) - вероятность того, что появится хотя бы одно из событий имеем формулу

Следствие. Если имеют одинаковую вероятность p, соответственно - q, то

Замечание. Независимыми в совокупности будем считать события, которые попарно независимы и каждое из которых независимо с тремя, четырьмя, … n-1 событиями из тех, которые рассматриваются в испытании.

¨ Задача об инстанциях.

Несколько руководителей последовательно подчинены один другому. Каждый готов независимо утвердить некоторый проект с вероятностью . Какова вероятность того, что проект будет утвержден при последовательном прохождении инстанций?

Решение.

События, которые отвечают прохождению первой, второй и т.д. инстанций обозначим соответственно как , прохождение всех инстанций, как А. По определению произведения событий имеем Поскольку множители по условию задачи независимы, по правилу умножения имеем:

Например, если вероятности для всех руководителей одинаковы и равны p, то

При p =0.9 и если n =5 Р 0.53; а при n =10 Р 0.35.(!!)

Совет: ищите дорогу с минимумом инстанций!

¨ Задача о количестве дублеров (обратная к задаче о дублировании ).

приборов в системе работают независимо и дублируют друг друга. Надежность каждого прибора одинакова и известна (). Вероятность прохождения сигнала в системе задана как порог надежности Q, ниже которого ее снижение недопустимо. Нужно найти число (количество дублеров), которое обеспечит заданный порог надежности.

Решение

По следствию к теореме 4 имеем: , где А - вероятность прохождения сигнала в системе, - вероятность отказа для любого прибора из числа дублеров. По условию задачи . Из последнего неравенства и находим n.

¨ Численный пример (задача планирования семьи).

Считая вероятность рождения девочки и мальчика одинаковой, определить, сколько детей нужно родить, чтобы с вероятностью не меньше 0.9 была хотя бы одна девочка.

Решение.

По условию задачи p=q=1/2. По результатам предыдущего решения находим:

То есть нужно иметь не меньше четырех детей.

Общие замечания.

Рассмотренные в этом параграфе задачи и теоремы позволяют анализировать системы разнообразного происхождения с точки зрения их надежности. На рис. 1, 2 представленны типичные структурные элементы для построения систем с параллельным и последовательным соединением приборов любой сложности. Из приведенных задач понятно, что слово 'приборы' используется условно для определения объектов в системе.

	Рис. 1
	Рис. 2

Типичный подход к решению задач с подобными параллельно-последовательными, то есть смешанными схемами состоит в следующем.

· В случае структурного элемента на рис. 1 выделяем блок приборов B и C, которые соединены последовательно и надежность которых рассчитывается по результатам задачи об инстанциях. Когда надежность относительно блока 1 определена, замечаем, что блок 1 и элемент А соединены параллельно, то есть к ним можно применить теорему 4, с помощью которой и определяется полная надежность системы.

· Для схемы на рис. 2 на первых порах выделяем блок 2, где общая надежность для приборов B и C рассчитывается по теореме 4. Потом к блоку 2 и элементу A применяем результаты задачи об инстанциях, которые и определяет конечную надежность системы.