Задачі до розділу 8

1. У ході експерименту під дією енергії E деяке тіло проникало в перешкоду на глибину h. Дослідити залежність між цими величинами. Експериментальні дані наведено в табл. 8.2.

Таблиця 8.2

Номер досліду i

Енергія, ,

Глибина проникнення, hi, см

Потрібно визначити рівняння прямої лінії регресії й коефіцієнт кореляції .

Розв’язування

Відповідно до методу найменших квадратів (МНК) необхідно відшукати такі коефіцієнти й , щоб критерій J набув мінімального значення, тобто

Ця оптимізаційна задача зводиться до розв’язування системи двох алгебраїчних лінійних рівнянь, а саме:

Обчислимо коефіцієнти системи, використовуючи такі вихідні дані: .

Тоді система набуває такого вигляду:

Розв’язуючи її, отримуємо, що , тобто рівняння прямої лінії регресії набуває такого вигляду:

.

Для визначення вибіркового коефіцієнта кореляції розрахуємо вибіркові дисперсії та вибіркові СКВ, а саме:

Розрахуємо значення вибіркового коефіцієнта кореляції таким чином:

Відповідь: ,

2. Проведено серію випробувань з метою виміру перевантаження авіабомби, що проникає в ґрунт з різною зустрічною швидкістю. Отримані значення перевантаження N залежно від швидкості v наведено в табл. 8.3.

Таблиця 8.3

Номер досліду

Швидкість v, м/с

Переванта-ження N, кг

За допомогою методу найменших квадратів знайти квадратичну залежність між величинами v та N, тобто .

Розв’язування

Критерій оптимальності в цьому випадку набуває такого вигляду:

Розв’язуючи цю оптимізаційну задачу, приходимо до системи рівнянь для визначення параметрів лінії регресії a, b, c, а саме:

Унаслідок перетворень система набуває такого вигляду:

Коефіцієнти цієї системи обчислимо за вихідними даними. Для зручності обчислень змінимо масштаби вимірювань, виражаючи швидкість v у сотнях м/с (помножити на 10^-2), а перевантаження N – у тисячах одиниць (помножити на 10^-3 ).

Записуємо систему в прийнятих умовних одиницях:

У результаті розв’язування системи отримуємо, що

Отже, рівняння лінії регресії має такий вигляд: .

Відповідь: .

3. Досліджується залежність температури склепіння печі від витрати повітря, яке надходить у камеру згоряння (м³/хв). Діапазон зміни параметра Q і температури t розбито на шість інтервалів. У результаті досліджень отримано 200 пар відповідних значень що наведені в табл. 8.4. Потрібно оцінити ступінь статистичного зв'язку між витратою повітря Q і температурою t за допомогою кореляційного відношення.

Розв’язування

Будемо вважати, що вибірку обсягом 200 значень випадкової величини розбито на шість груп, які відповідають шести інтервалам зміни параметра Q.

Таблиця 8.4

група	м3/хв.	800–850	850–900	900–950	950–1000	1000–1050	1050–1100	Обсяг групи
	2÷2,2
	2,2÷2,4
	2,4÷2,6
	2,6÷2,8
	2,8÷3
	3÷3,2

Далі виконаємо поетапні обчислення.

1. Знайдемо групові й вибіркове середні:

,

,

,

,

,

,

.

2. Проведемо розрахунок групових і загальної вибіркових дисперсій:

.

3. Обчислимо міжгрупову й внутрішньогрупову дисперсії:

4. Знайдемо кореляційне відношення:

Відповідь:

4. Напруга зарядженого конденсатора . З часом конденсатор розряджається під дією деякого опору. Залежність напруги на конденсаторі U від часу t реєструється на інтервалі від 0 до 10 с через кожну секунду. Напруга вимірюється з точністю до 5 В. Результати вимірювань наведено в табл. 8.5.

Таблиця 8.5.

Номер виміру i
Час ti, c
Напруга Ui, B

Згідно з теоретичними даними, залежність напруги від часу повинна мати такий вигляд: .

Методом найменших квадратів потрібно обчислити значення параметра .

Відповідь:

5. Висота h падіння деякого тіла за час t визначається за такою формулою:

,

де – шлях, пройдений тілом до моменту початку відліку часу; – швидкість тіла в момент початку відліку часу; – половина прискорення сили тяжіння .

Обчислити коефіцієнти , , методом найменших квадратів й оцінити точність визначення прискорення сили тяжіння на основі серії вимірів, результати яких наведено в табл. 8.6.

Таблиця 8.6

t, c
h, см	11,86	15,67	20,6	26,69	33,71	41,93	51,13
t, c
h, см	61,49	72,9	85,44	99,08	113,77	129,54	146,48

Відповідь: = 9,14; = 65,89; = 489,28.

6. Величина зношування різця , зумовлена його товщиною (мм), залежить від часу його роботи (год). Результати її вимірів подано в табл. 8.7. Визначити рівняння прямої лінії регресії: , а також величину коефіцієнта кореляції .

Таблиця 8.7

t, годин
y, мм		29,1	28,4	28,1		27,7	27,5	27,2
t, годин
y, мм	26,8	26,5	26,3	26,1	25,7	25,3	24,8

Відповідь: y = 29,38 – 0,3012 t; = – 0,983.

7. Виконували дослідження залежності потоку машин шт/хв на деякій ділянці руху від часу доби t. Для цього добу розподілили на 6 інтервалів, а діапазон зміни потоку – на 8 інтервалів. Результати 170 вимірів наведено в табл. 8.8, де кожен рядок відповідає часовому інтервалу, а кожен стовпець – середині інтервалу потоку машин Q. Потрібно розрахувати кореляційне відношення для залежності потоку Q від часу t.

Таблиця 8.8

t									Обсяг групи

Відповідь: .

8. Собівартість y (в дол.) одного примірника книги залежно від тиражу x (тис. прим.) характеризується даними, що зібрані видавництвом протягом ряду років (табл. 8.9). За допомогою МНК підібрати коефіцієнти залежності собівартості від тиражу: .

Таблиця 8.9

x, тис. прим.
y, дол.	10,15	5,52	4,08	2,85	2,11	1,62	1,41	1,3	1,21	1,15

Відповідь: = 1,1188; = 8,9734.

9. У результаті експерименту отримано значення величини стиснення сталевого бруска x (мм) під дією навантаження y (кг), які внесено в табл. 8.10. Визначити коефіцієнти лінійної залежності: , відповідно до закону Гука, а також коефіцієнт кореляції .

Таблиця 8.10

Номер експерименту, i
Стиснення x, мм
Навантаження y, кг

Відповідь: = 14,892; = 6,07067; = 0,99772.

10. Досліджується залежність питомого прибутку підприємства Р (прибуток отримано від реалізації одиниці продукції) від ціни С основного сировинного компонента. Результати досліджень зведено в табл. 8.11, причому в реальному діапазоні зміни параметрів ціну сировини С поділили на 6 інтервалів, а питомий прибуток Р – на п’ять. Рядки й стовпці відповідають серединам інтервалів. Потрібно оцінити ступінь статистичного зв'язку між величинами Р і С за допомогою кореляційного відношення.

Таблиця 8.11

P C						Обсяг групи

Відповідь: .