Задачі до розділу 4

1. З партії, що налічує 50 виробів, серед яких 10 бракованих, були навмання відібрані три вироби для перевірки їхньої якості. Знайти математичне сподівання випадкової величини (ВВ) X – кількості бракованих виробів серед відібраних.

Розв’язування

Для визначення математичного сподівання необхідно скласти закон розподілу ВВ X. Можливі значення ВВ X будуть такі: 0, 1, 2, 3. Знайдемо ймовірності їх появи:

;

;

;

.

Тоді закон розподілу ймовірностей ВВ X буде мати такий вигляд:

X
p	0,504	0,398	0,092	0,006

Тепер можна визначити математичне сподівання ВВ X, а саме:

.

Відповідь: М (Х) = 0,6.

2. Інтегральна функція розподілу ВВ X має такий вигляд:

Визначити:

а) при яких значеннях і функція є неперервною;

б) імовірність попадання ВВ X в інтервал ;

в) щільність імовірності випадкової величини X.

Розв’язування

а) Для того, щоб була неперервною, необхідне виконання таких умов: , , тобто

Із цієї системи знайдемо, що ; , і,відповідно, функція розподілу набуває такого вигляду:

б) Імовірність попадання ВВ в інтервал дорівнює різниці інтегральних функцій, аргументами яких є границі інтервалу, тобто

в) Щільність імовірності (диференціальна функція) дорівнює першій похідній від інтегральної функції розподілу, отже,

3. Випадкова величина Х задана такою функцією розподілу:

Потрібно знайти: а) щільність імовірності; б) побудувати графік функції розподілу випадкової величини Х.

Розв’язування

а) , де – щільність ймовірності, тому

4

б) Побудуємо графік функції розподілу випадкової величини Х (рис. 4.5).

Рис. 4.5. Графік інтегральної функції розподілу (до задачі 3)

4. Електронний прилад складається з 1000 елементів. Імовірність відмови одного елемента протягом року роботи дорівнює 0,001 і не залежить від стану інших елементів. Яка ймовірність відмови:

а) двох елементів за рік;

б) не менше двох елементів за рік.

Розв’язування

Оскільки ймовірність появи події в одному випробуванні мала, а кількість випробувань велике, то випадкове число X елементів, що відмовили, можна вважати розподіленим відповідно до закону Пуассона, тобто

,

тут .

а) Імовірність відмови рівно двох елементів

.

б) Імовірність відмови не менше двох елементів

.

Відповідь:а) 0,184; б) 0,264.

5. Вироби випробовуються із застосуванням режимів перевантаження. Імовірності того, що кожен виріб пройде випробування, дорівнюють 4/5 і не залежать одна від одної. Випробування закінчуються, як тільки один з виробів, не витримує випробування. Знайти закон розподілу ВВ Х, що являє собою число випробувань.

Відповідь: ,

6. На шляху прямування автомашини розміщено чотири світлофори. Кожний з них або дозволяє машині їхати з імовірністю 0,6, або забороняє – з імовірністю 0,4. Знайти закон розподілу ймовірностей ВВ Х – кількості пройдених машиною світлофорів до її першої зупинки.

Х
р	0,4	0,24	0,144	0,0864	0,1296

Відповідь:

7. Мішень має коло № 1 і два кільця із номерами 2 й 3. Влучення пострілу в коло № 1 дає 10 очок, у кільце № 2 – 5 очок, у кільце № 3 – мінус 1 очко. Імовірності влучення в коло № 1 і кільця № 2, 3 відповідно дорівнюють 0,5; 0,3; 0,2.

Знайти математичне сподівання ВВ Х – суми вибитих очок унаслідок трьох влучень у мішень.

Відповідь: 18,9.

8. Випробуваний прилад складається із трьох малонадійних елементів. Відмова кожного з них не залежить від стану іншого, а ймовірності відмови елементів з номером . Знайти дисперсію ВВ Х, що являє собою кількість елементів, які відмовили.

Відповідь: 0,61.

9. В урну поміщено 5 білих і 3 чорних кулі. Їх виймають по одній до появи чорної кулі. Знайти математичне сподівання й дисперсію ВВ Х – кількості вийнятих білих куль, якщо кулі, які були вийняті, в урну не повертаються.

Відповідь: ; .

10. Яким повинне бути значення параметра А, щоб функція: була диференціальною функцією розподілу ймовірностей ВВ Х, яка змінюється в нескінченних межах?

Відповідь: .

11. Інтегральна функція розподілу ймовірностей ВВ Х має такий вигляд:

Знайти диференціальну функцію та ймовірність попадання ВВ Х в інтервал (3; 6).

Відповідь: 16/25.

12. Чи може функція бути інтегральною функцією розподілу ймовірностей ВВ Х, яка змінюється в межах: а) від 0 до ; б) від 0 до ?

Відповідь: а) може; б) не може.

13. Інтегральна функція розподілу ймовірностей має такий вигляд :

Знайти диференціальну функцію та імовірність попадання ВВ Х в інтервал (5; 10), якщо ; .

Відповідь: 0,27.

14. Побудувати інтегральну функцію розподілу дискретної випадкової величини Х, що задана зображеним нижче рядом розподілу. Знайти її математичне сподівання і дисперсію.

Xi
Pi	0,5	0,3	0,15	0,05

Відповідь: M (X) = 0,75; D (X) = 0,7875.

15. Монету підкидають 5 разів. Побудувати ряд розподілу та функцію розподілу для незалежної величини Х, яка позначає число появ герба. Знайти її математичне сподівання та дисперсію.

Відповідь: ; M (X) = 2,5; D (X) = 1,25.

16. Маємо у своєму розпорядженні три лампочки. Ймовірність того, що кожна з них має дефект, дорівнює 0,4. При вмиканні в електромережу дефектна лампа відразу перегоряє, після чого замінюється на іншу. Побудувати ряд розподілу та функцію розподілу випадкової величини Х, яка означає число лампочок, що будуть випробувані. Знайти її математичне сподівання та дисперсію.

Відповідь: M (X) = 1,56; D (X) = 0,5664.

17. Імовірність улучення в ціль при одному пострілі з рушниці дорівнює 0,4. Виконується 6 пострілів. Побудувати ряд розподілу та функцію розподілу випадкової величини Х – кількості влучень у ціль. Знайти її математичне сподівання та дисперсію.

Відповідь: ; M (X) = 2,4; D (X) = 1,44.

18. Імовірність улучення в ціль при одному пострілі з рушниці дорівнює 0,4. Виконується 5 пострілів. Побудувати ряд розподілу та функцію розподілу випадкової величини Х – кількості промахів. Знайти її математичне сподівання та дисперсію.

Відповідь: ; M (X) = 3; D (X) = 1,2.

19. Мисливець робить постріли по дичині до першого влучення, встигаючи зробити не більше трьох пострілів. Імовірність улучення в ціль при кожному пострілі дорівнює 0,8. Побудувати ряд розподілу та функцію розподілу випадкової величини Х, яка означає число пострілів, зроблених мисливцем. Знайти її математичне сподівання та дисперсію.

Відповідь: M (X) = 1,24; D (X) = 0,2624.

20. Кожен з двох стрільців робить постріл в одну мішень. Імовірність улучення в неї першим стрільцем дорівнює 0,5 другим – 0,4. Побудувати ряд розподілу та функцію розподілу випадкової величини Х, яка означає кількість влучень у мішень. Знайти її математичне сподівання та дисперсію.

Відповідь: M (X) = 0,9; D (X) = 0,89.

21. Знайти дисперсію дискретної випадкової величини Х, що означає кількість випадків появи події А в двох незалежних випробуваннях, якщо ймовірність настання події у цих випробуваннях однакова і відомо, що М (Х) = 0,9.

Відповідь: 0,495.

22. Нехай випадкова величина Y – число двійок, що випали при одному киданні трьох кубиків. Побудувати ряд розподілу випадкової величини Y. Знайти її математичне сподівання та дисперсію.

Відповідь: ; M (X) = 0,5; D (X) = 5/12.

23. Випадкова величина Х задана такою функцією розподілу:

Потрібно знайти: а) щільність імовірності; б) математичне сподівання та дисперсію; в) побудувати графіки функцій розподілу випадкової величини Х.

Відповідь:: M (X) = 3,5; D (X) = 3/4.

24. Випадкова величина Х задана такою функцією розподілу:

Потрібно знайти: а) щільність імовірності; б) математичне сподівання та дисперсію; в) побудувати графіки функцій розподілу випадкової величини Х.

Відповідь:: M (X) = 4/3; D (X) = 2/9.

25. Випадкова величина Х задана диференціальною функцією розподілу:

Потрібно знайти: а) інтегральну функцію розподілу ймовірності; б) математичне сподівання та дисперсію; в) побудувати графіки функцій розподілу випадкової величини Х.

Відповідь: M (X) = 8/3; D (X) = 8/9.

26. Випадкова величина Х задана диференціальною функцією розподілу:

Потрібно знайти: а) інтегральну функцію розподілу ймовірності;

б) математичне сподівання та дисперсію; в) побудувати графіки функцій розподілу випадкової величини Х.

Відповідь: M (X) = 5/3; D (X) = 1/18.

27. Випадкова величина задана своєю диференціальною функцією:

Визначити параметр С та обчислити ймовірність попадання ВВ до інтервалу

Відповідь: С = –0,5;

28. Дві незалежні випадкові величини X та Y задано законами розподілу:

X							Y
p	0,5	0,2	0,1	0,2			p	0,5	0,1	0,1	0,3

Обчислити математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення випадкової величини: Z = X + 2 Y.

Розв’язування

Скористаємось властивостями математичного сподівання та дисперсії. Шукане математичне сподівання можна обчислити за формулою:

Дисперсію випадкової величини Z, враховуючи незалежність випадкових величин Х та Y, визначаємо за такою формулою:

Обчислимо та :

,

,

тоді .

Далі обчислюємо дисперсії випадкових величин Х та Y:

,

;

,

;

Обчислимо тепер середнє квадратичне відхилення:

Відповідь: , ,

29. Випадкові величини Х та Y незалежні. Обчислити дисперсію дискретної випадкової величини Z = 2 X + 3 Y, коли відомо, що D (X) = 4, D (Y) = 5.

Відповідь: D (Z) = 61.

30. Дві незалежні випадкові величини Х та Y подані такими законами розподілу:

X							Y
p	0,1	0,3	0,4	0,2			p	0,5	0,2	0,1	0,2

Обчислити математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення випадкової величини Z, якщо .

Відповідь: ; ; .

31. Дві незалежні випадкові величини Х та Y подані такими законами розподілу:

X							Y
p	0,1	0,3	0,4	0,2			p	0,4	0,1	0,4	0,1

Обчислити математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення випадкової величини: Z = Х + 3Y.

Відповідь: ; ; .

32. Дві незалежні випадкові величини X та Y подані такими законами розподілу:

X							Y
p	0,1	0,2	0,2	0,5			p	0,1	0,1	0,5	0,3

Обчислити математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення такої випадкової величини:

Відповідь: ; ; .

33. Дві незалежні випадкові величини X та Y подані такими законами розподілу:

X	1,5		2,5				Y
p	0,1	0,6	0,2	0,1			p	0,2	0,1	0,5	0,2

Обчислити математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення такої випадкової величини:

Відповідь: ; ; .