Интегрирование рациональных функций от тригонометрических функций

1. , где R() – рациональная функция своих аргументов.

Такие интегралы всегда можно взять универсальной тригонометрической подстановкой (лекция 1)

2. .

А) Если нечетна по sin x, то делают подстановку t = cos x.

Б) Если нечетна по cos x, то делают подстановку t = sin x.

В) Если не меняет знака при изменении знака sin x или cos x, то делают подстановку t = tg x.

Пример. . Здесь мы имеем случай В). Подстановкой этот интеграл сводится к интегралу .

3. Интегралы

сводятся к табличным интегралам от синуса и косинуса, если преобразовать произведение тригонометрических функций в сумму по формулам

Пример.

4. Интегралы вида

a) Если m или n – нечетное положительное число, то sin x или cos x вносят под дифференциал.

Пример.

b) Если m, n – четные положительные числа, то применяют формулы удвоения аргумента

Пример.

c) , где m – целое положительное число, берутся с использованием формул .

Пример.

= -

d) В общем случае интегралы вида вычисляются по рекуррентным формулам с использованием основного тригонометрического тождества.

Пример.

= .