Формулы Маклорена и Тейлора

Таблица эквивалентных бесконечно малых

2.1. Предел (3), представляющий собой мгновенную скорость изменения функции в точке х, называется производной функции в точке x. Используется несколько различных стандартных обозначений этой производной:

(4)

Последнее из этих обозначений использовал Ньютон, предпоследнее - Лейбниц, а первые три ввел французский математик Коши. В дальнейшем мы в основном для обозначения производной функции будем использовать обозначение Коши (или ), а при необходимости и (читается: производная функции y по переменной x).

Итак,

, (5)

или подробнее

(6)

– математическое определение производной функции в заданной точке x. Читается это определение так: производная функции – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

2.2.

х

х+Dх

Dх

Dу

α *

у

х

α

Dх

М

N

Dy

L*

L

α*

y*=f(x+Dx)

K

y=f(x)

y=f(x)

Рис. 4

Но у производной функции есть и наглядный геометрический смысл. Для его выяснения рассмотрим рис. 4. Проведем к графику функции через точку и точку секущую , а через точку касательную L. Их углы наклона к оси ох обозначим соответственно и . Из следует:

(8)

Если устремить к нулю, то и устремится к нулю, а точка N устремится к точке M. Соответственно секущая устремится к касательной L, проведенной в точке M, а угол наклона секущей устремится к углу наклона касательной. То есть при . Но тогда

при (9)

Иначе говоря,

, (10)

что с учетом (5) дает

2.3. Таблица производных основных элементарных функции

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

5^* ;

6. ;

6^*. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ; (17)

13. ;

14. .

2.4. Нахождение производных многих других элементарных функций (более сложных, не входящих в эту таблицу) осуществляется на основе следующих правил вычисления производных (правил дифференцирования функций):

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. . (18)

Здесь и – любые две дифференцируемые функции, а С – любая константа.

Несмотря на то, что таблица производных (17) и правила дифференцирования (18) известны еще из курса школьной математики, приведем вывод этих правил, основанный на использовании определения производной (6).

2.5. Дифференциал функции.

Понятие дифференциала функции тесно связано с понятием ее производной. Как и производная функции, дифференциал функции принадлежит к числу важнейших понятий математического анализа и введен в математику Ньютоном и Лейбницем параллельно с понятием производной.

Вспомним определение производной функции в некоторой фиксированной точке x (формулы 5 и 6):

(19)

Здесь – приращение аргумента x, а – соответствующее приращение функции y.

Будем считать, что данная функция дифференцируема в рассматриваемой фиксированной точке x. То есть будем считать, что производная в этой точке существует и конечна. Тогда, согласно (19),

при (20)

А это значит, что при малых значениях будем иметь:

(21)

Причем приближенные равенства (21) будут тем точнее, чем меньше (и соответственно чем меньше ).

А теперь будем считать приращение аргумента функции не просто малым, а бесконечно малым, и назовем его дифференциалом аргумента x. Введем (следуя Лейбницу) для него и специальное обозначение:

dx – дифференциал аргумента x. (22)

Таким образом, дифференциал dx аргумента x – это бесконечно малое приращение этого аргумента. Конечно, только что введенное понятие дифференциала переменной x – математическая абстракция (она сродни диаметру точки или толщине линии). Но математика постоянно пользуется абстракциями, поэтому еще одна абстракция пугать нас не должна.

Если приращение аргумента x бесконечно мало (), то и приращение функции y тоже будет бесконечно мало. Обозначим его символом dy и будем называть дифференциалом функции y. Так как , то

– дифференциал функции y.

2.7. Оба равенства (24) имеют важный смысл. Первое из них дает выражение производной функции y через отношение дифференциалов dy и dx функции и аргумента. А второе дает выражение дифференциала функции dy через производную функции и дифференциал аргумента dx.

Кстати, если учесть, что , то последнее равенство (24) можно записать подробнее:

(25)

А если еще учесть исходное выражение (23) для дифференциала функции , то из последнего равенства получаем:

(26)

Равенство (26) позволяет записать значение функции в точке , бесконечно близкой к точке x, через значение функции и ее производной в самой точке x. Эта формула имеет большое теоретическое значение.

Если в равенстве (26) заменить бесконечно малое dx на малое, но конечное , то вместо точного оно станет приближенным:

2.8. Производная сложной функции.

Пусть , а – любые две дифференцируемые функции своих аргументов. Тогда функция – так называемая сложная функция от x (она представляет собой функцию от функции). Найдем ее производную (производную от y по x). Для этого дадим аргументу x некоторое приращение , то есть перейдем от x к . Приращение величины x вызовет некоторое приращение величины u, а то, в свою очередь, вызовет некоторое приращение величины y. Так как функции и являются, по условию, дифференцируемыми функциями своих аргументов, то они являются и непрерывными функциями своих аргументов. То есть при и , и . А тогда, согласно определению производной, получаем:

.

Итак, если – сложная функция от x, то . Или, опуская значок x (но подразумевая его) запишем короче:

(1)

Формула (1) представляет собой правило вычисления производной (правило дифференцирования) сложной функции.

2.9. Производная функции, заданной неявно.

Если функция задана в неявном виде, то есть задана уравнением (в этом уравнении y не выражен через x, и выразить его не удается), то при нахождении производной такой функции поступают следующим образом:

1) Дифференцируют обе части уравнения по x, помня при этом, что y – это функция от x. В результате появляется некоторое равенство , содержащее искомую производную .

2) Выражают из полученного равенства эту производную.

Таким образом, производную функции y, заданной неявно уравнением , находят по схеме:

2.10. Производная обратной функции.

Пусть дана возрастающая или убывающая функция , определенная на некотором отрезке . Пусть f(a)=c, f(b)=d. Для определенности будем далее рассматривать возрастающую функцию.

Рассмотрим два различных значения x₁ и x₂, принадлежащих отрезку . Из определения возрастающей функции следует, что если x₁ < x₂ и , , то y₁<y₂. Следовательно, двум различным значениям x₁ и x₂ соответствуют два различных значения функции y₁ и y₂. Справедливо и обратное, т.е. y₁ < y₂. , а , то из определения возрастающей функции следует, что x₁ < x₂. Таким образом, между значениями x и соответствующими значениями y устанавливается взаимно однозначное соответствие.

Рассматривая эти значения y как значения аргумента, а значения x как значения функции, получаем x как функцию y: .

Эта функция называется обратной для функции . Очевидно, что 1) функция является обратной для функции ;

2) если возрастающая (или убывающая) функция непрерывна на отрезке , причем f(a)=c, f(b)=d, то обратная функция определена и непрерывна на отрезке .

Теорема 1. Если для функции существует обратная функция , которая в рассматриваемой точке y имеет производную , отличную от нуля, то в соответствующей точке x функция имеет производную , равную , т.е. справедлива формула .

Другими словами, производная одной из двух взаимно обратных функций равна единице, деленной на производную второй из этих функций при соответствующих значениях x и y.

Доказательство. Возьмем приращение , тогда . Поскольку - монотонная функция, то , а значит имеет место тождество . (5)

Так как функция - непрерывная, то при . Переходя к пределу при в обеих частях равенства (5), получим

или ,

Что и требовалось получить.

Используя доказанную теорему, получим табличные производные функций y=arcsinx и y=arctgx.

2.11. Производная функции, заданной параметрически.

Если функция задана в параметрической форме

, (3)

то ее производную находят по формуле:

. (4)

Подтвердим эту формулу. Пусть и – дифференцируемые функции параметра t. Зафиксируем некоторое t, а затем придадим ему приращение . При этом x и y получат некоторые приращения и , причем при и , и (функции и – дифференцируемые, а значит, и непрерывные). А тогда

.

Пример 6. Функция , заданная параметрически уравнениями

M (х; у)

y

x

x

0

y

t

R

R

-R

-R

R

Рис. 1

,

представляет собой параметрическое уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R (рис. 1).

Найдем производную этой функции:

2.12 Логарифмическое дифференцирование или производная сложной показательной функции.

Сложной показательной функцией – называется функция у которой и основание и показатель степени являются функциями от х, например , , вообще всякая функция вида есть сложная показательная функция.

Теорема 1. Если , то .

Доказательство. Логарифмируем функцию y: . Дифференцируя полученное равенство по х, будем иметь: , откуда . Подставляя сюда выражение , получаем .

Таким образом, производная сложной показательной функции состоит из двух слагаемых: первое слагаемое получается, если при дифференцировании предположить, что и есть функция от х, а v есть постоянная (т.е. если рассматривать как степенную функцию); второе слагаемое получается, если предположить, что v есть функция от х, а u=const (т.е. если рассматривать как показательную функцию).

2.13 Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях.

Теорема Ролля: (теорема о корнях производной)

Если функция f(x) непрерывна на отрезке , дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах x=a и x=b обращается в нуль f(a)=f(b)=0, то существует внутри отрезка по крайней мере одна точка x=с, a<c<b, в которой производной обращается в нуль, т.е. .

(см. рис.1)

Геометрическое истолкование: если непрерывная кривая, имеющая в каждой точке касательную, пересекает ось Ох в точках с абсциссами a и b, то на этой кривой найдется по крайней мере одна точка с абсциссой с, , в которой касательная параллельна оси Ох.

Теорема Лагранжа: (теорема о конечных приложениях)

Если функция f(x) непрерывна на отрезке , дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка найдется по крайней мере одна точка с, a<c<b, что . (см. рис.2)

Геометрическое истолкование: если во всех точках дуги AB существует касательная, то на этой дуге найдется точка С между A и B, в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точки A и B.

Теорема Коши: (теорема об отношении приращений двух функций)

Если f(x) и - две функции, непрерывные на отрезке и дифференцируемых внутри него, причем нигде внутри отрезка не обращается в нуль, то внутри отрезка найдется по крайней мере одна точка с, a<c<b, что .

2.15. Правило Лопиталя вычисления пределов.

Это правило состоит в следующем. Если требуется найти предел вида

, (4)

где x₀ – число или символ , и этот предел приводит к неопределенности вида или , то

, (5)

Словесная формулировка правила Лопиталя (5) такова: предел отношения бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует.

Доказательство. Исчерпывающее доказательство правила Лопиталя довольно громоздко. В связи с этим ограничимся рассмотрением случая, когда предел (4) приводит к неопределенности вида :

; ; . (6)

При этом будем считать, что x ₀ – некоторое конечное число.

Если функции и непрерывны в точке x ₀, то в силу определения непрерывности функций верны следующие равенства и . Если же эти функции в точке x ₀ разрывны, то их значения при x ₀ не равны нулю (у них другие значения или они там вообще не определены). Тогда переопределим (или доопределим) их в точке x ₀ так, чтобы стало и . После этого, в силу того же определения непрерывности функций, функции и станут непрерывными в точке x ₀. Далее, будем считать, что обе эти функции будут непрерывно дифференцируемыми в окрестности точки х₀, включая саму точку х₀, причем . Тогда получим:

Примечание. Предел отношения производных, стоящий в правой части равенства (5), тоже может приводить к неопределенности вида или . Тогда правило Лопиталя можно применить и к нему. То есть применить это правило повторно.

2.16. Дифференциалы высших порядков.

Найдя дифференциал dy данной функции , можем затем найти дифференциал от этого дифференциала. Тем самым получим так называемый дифференциал второго порядка данной функции :

.

Итак, если – некоторая дважды дифференцируемая функция, то ее дифференциал второго порядка (дэ два игрек) находится по формуле:

(7)

Отсюда, кстати, получаем:

, где (8)

Тем самым находит свое оправдание обозначение Лейбница (1) для производной второго порядка функции . Аналогично получает оправдание и обозначение (2) для производной третьего порядка, которая выражается через дифференциал (дэ три игрек) третьего порядка

, откуда , (9)

и т.д.

Отметим еще одно существенное обстоятельство. Дифференциал dy функции y (дифференциал первого порядка), как показано выше, имеет инвариантную (неизменную) форму независимо от того, является ли аргумент x функции y независимой переменной или, наоборот, сам является функцией от другой переменной. А вот для дифференциалов высших порядков (, , …) эта инвариантность места не имеет.

Действительно, пусть – сложная функция от t. Тогда, согласно инвариантности формы первого дифференциала dy, имеем:

.

А вот

(10)

Действительно,

Формулы Маклорена и Тейлора

В предыдущем параграфе был получен простейший вариант формулы Тейлора: . Эта формула приближенная, и она тем точнее, чем меньше . Но хотелось бы знать больше. Хотелось бы иметь оценку погрешности этой формулы. А еще лучше – иметь возможность заменить эту формулу на более точную, такую, чтобы ее погрешностью заведомо можно было бы пренебречь. С этой целью проведем в формуле переобозначения:

· старое обозначение x – новое обозначение x ₀;

· старое обозначение – новое обозначение x;

· старое обозначение – новое обозначение .

Тогда эта формула примет вид:

(11)

То есть получаем приближенную формулу вида

, (12)

где ; . Использование этой приближенной формулы равносильно замене кривой на прямую с уравнением , которая является касательной, проведенной к графику функции в точке M ₀ с абсциссой x ₀ (рис. 1).

Действительно, прямая проходит через точку . Кроме того, она имеет угловой коэффициент . А это и есть, согласно геометрического смысла производной (см. 1.11), угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке M ₀. Для приближенная формула (12) становится точной. А для она, очевидно, тем точнее, чем ближе x к x ₀.

у

х

х0

х

М0

0

Рис.1

f (x)

A0+A1(x-x0)

f(x0)=A0

y=f(x)

Для x, очень близких к x ₀, замена кривой на касательную к ней, или как еще говорят, аппроксимация кривой её касательной, очевидно, вполне оправдана. Но с удалением x от x ₀ расхождение между кривой и касательной к ней может стать существенным, а формула (12) может стать слишком грубой.

Возникает естественная мысль: поискать замену кривой не на прямую, а на другую кривую, только более простую (на параболу, гиперболу, и т.д.). В соответствии с этой мыслью приближенные значения функции для x, близких к x ₀, будем искать по обобщению формулы (12):

(13)

В простейшем случае формула (13) совпадает формулой (12). А при мы вправе ожидать, что формула (13) окажется более точной, чем формула (12), и что ее точность будет возрастать с увеличением числа n. Действительно, аппроксимация кривой параболой (при ), кубической параболой (при ) и т.д. более естественна, чем аппроксимация кривой какой угодной прямой. И чем сложнее аппроксимирующая кривая, тем качественнее может быть осуществлена эта аппроксимация. В том числе и для x, достаточно удаленных от x ₀.

Потребуем, чтобы формула (13), как и ее частный случай (12), была точной при . Тогда получим:

(14)

Найдем остальные коэффициенты формулы (13). Предположим, что функцию можно сколько угодно раз дифференцировать в некоторой окрестности точки , и продифференцируем обе части приближенного равенства (13) до n -го порядка включительно:

;

; (15)

-------------------------------------------------------------------------

Здесь использовано обозначение:

(эн – факториал) (16)

В частности,

; ; ; … (по определению) (17)

Приближенные равенства (15), как и исходное равенство (13), должны быть тем точнее, чем ближе x к x ₀. Потребовав, чтобы при все они стали точными, получим:

; ; ; …

Отсюда

; ; ; … (18)

Подставляя выражения (18) в (13), получим для x, близких к x ₀:

(19)

Полученная ранее формула (11) является простейшим частным случаем этой формулы при .

Формула (19) – приближенная. Следует ожидать, что ее точность должна повышаться как при приближении x к x ₀, так и при увеличении числа ее слагаемых n. Но чтобы убедиться в этом окончательно, следует получить оценку погрешности этой формулы для всех n, начиная с .

Обозначим символом эту погрешность ( – разность между левой и правой частями формулы (19)). Тогда получим точно для любых х и n:

(20)

Формула (20) называется формулой Тейлора. Последнее слагаемое называется остаточным членом формулы Тейлора. Поэтому еще говорят, что (20) – это формула Тейлора с остаточным членом.

При практическом использовании формулы Тейлора ее остаточный член отбрасывают, переходя тем самым к приближенной формуле (19), которую называют формулой Тейлора без остаточного члена. А для правомерности отбрасывания (игнорирования) остаточного члена используют его оценку, полученную французским математиком 19-го века Лагранжем:

(21)

Если – допустимая погрешность вычисления функции , то для данных x и x ₀ подбирают такое значение n, чтобы .

При формула Тейлора (20) принимает вид

(22)

и называется формулой Маклорена. Ее остаточный член оценивается по формуле (23), вытекающей из (21) при :

(23)

Формулой Маклорена, после оценки и отбрасывания ее остаточного члена, пользуются для приближенного вычисления значений при x, близких к нулю.