Простая случайная выборка

Отбор с предварительным разделением генеральной совокупности на части может быть организован различными способами,которым соответствуют свои виды отбора.

В практике выборочных исследований наибольшее распространение получили следующие виды выборки:

• механическая;

• типическая;

• серийная;

• комбинированная.

Указанные виды выборки являются дальнейшим развитием и видоизменением собственно-случайного отбора. Их применение вызывается соображениями удешевления или облегчения процесса наблюдения, особым характером объектов наблюдения.

Механический отбор является одним из наиболее применяемых способов формирования выборки. При механическом отборе генеральная совокупность предварительно упорядочивается по несущественному для цели исследования признаку (списки избирателей, табельные номера работников, различные другие базы данных). Отбор осуществляется бесповторным способом через равные интервалы. Из каждого интервала в выборку попадает только одна единица.

При проведении механической выборки необходимо установить шаг отсчета (расстояние между отбираемыми единицами) и начало отсчета (номер единицы, которая должна быть обследована первой). Шаг отсчета устанавливается, исходя из предполагаемого процента отбора. Например, при 10%-ой выборке отбирается каждая десятая единица, при 20%-ой – каждая двадцатая.

Особенностью механического отбора является то, что при его применении возможно появление систематических ошибок, связанное со случайным совпадением выбранного интервала и циклических закономерностей в расположении единиц генеральной совокупности. Чтобы избежать систематических ошибок, следует отбирать статистическую единицу, находящуюся в середине каждого интервала.

Этот способ очень удобен в тех случаях, когда нельзя заранее составить список единиц генеральной совокупности (выборка берется из постоянно формирующейся во времени совокупности). В таком случае, например, при изучении спроса на определенный товар, удобно наблюдать каждого десятого или каждого двадцатого входящего в магазин покупателя; или же при контроле качества продукции – проверять каждое пятое или каждое десятое изделие, сходящее с конвейера.

При определении средней ошибки механической выборки используются формулы средней ошибки при собственно-случайном бесповторном отборе:

для выборочной средней

для выборочной доли

Расслоенный (стратифицированный, типический) отбор используется при изучении сложных совокупностей, которые можно разбить на несколько качественно однородных групп по существенным для целей исследования признакам. Внутри каждой группы проводится собственно-случайный или механический отбор. Полученные группы по численности единиц, как правило, не равны между собой, поэтому отбор единиц осуществляется пропорционально объему группы, т. е. количество отбираемых в выборку единиц пропорционально удельному весу данной группы по числу единиц в генеральной совокупности. Таким образом, число наблюдений по каждой группе определяется по формуле:

где

- число наблюдений из i-ой группы генеральной совокупности;

N - объем генеральной совокупности;

n_i - объем i-ой группы генеральной совокупности.

Если пропорции между группами в выборке совпадают с пропорциями между группами в генеральной совокупности, то отбор называется типическим. Типическая выборка обеспечивает более точные результаты по сравнению с другими способами отбора единиц в выборочную совокупность, так как позволяет исключить влияние межгрупповой дисперсии на среднюю ошибку выборки. На величину средней ошибки типической выборки влияет только величина средней из внутригрупповых дисперсий.

Типическую выборку можно получить повторным или бесповторным отбором:

Среднюю ошибку типической выборки при повторном отборе определяют по формулам:

- для средней количественного признака

, где - средняя из внутригрупповых выборочных дисперсий;

- для доли альтернативного признака

- средняя из внутригрупповых дисперсий доли альтернативного признака по выборке.

При бесповторном отборе среднюю ошибку типической выборки рассчитывают по следующим формулам:

-для средней количественного признака

- для доли альтернативного признака

Серийная (гнездовая) выборка применяется в тех случаях, когда единицы статистической совокупности объединены в небольшие группы или серии. В качестве таких серий могут рассматриваться, например, упаковки с определенным количеством готовой продукции. Для отбора серий применяют либо собственно-случайную, либо механическую выборку. Наблюдению подвергаются все единицы отобранной серии.

Серийный отбор имеет большое практическое значение, так как обследуется незначительное число серий, и это сокращает расходы на проведение наблюдения; однако при серийном отборе случайная ошибка получается несколько большей, чем при других способах отбора. При серийном отборе, поскольку внутри серий обследуются все без исключения статистические единицы, величина средней ошибки зависит только от межгрупповой (межсерийной) дисперсии.

Средняя ошибка серийной выборки при повторном отборе определяется следующим образом:

- для средней количественного признака:

,

где ,

- среднее i-той серии;

- средняя по всей выборке;

r – число отобранных серий.

- для доли альтернативного признака:

, где - межгрупповая дисперсия доли серийной выборки;

- доля признака в i-той группе;

- общая доля признака во всей выборке.

При бесповторном отборе средняя ошибка серийной выборки может быть определена:

- для средней количественного признака:

, где R – общее число серий в генеральной совокупности.

- для доли альтернативного признака:

Рассмотренные способы формирования выборки могут применяться в «чистом виде», а могут комбинироваться в различных сочетаниях и последовательности. Использование нескольких методов формирования выборки в одном выборочном исследовании называется комбинированной выборкой (отбором).

Такая выборка проводится в несколько этапов, и на каждом из них применяется свой способ отбора.

Например, при обследовании семейных доходов выборочное обследование проводится в такой последовательности:

- устанавливаются населенные пункты, попадающие под обследование. Используется расслоенный отбор. С его помощью отбираются крупные города, средние города, и другие населенные пункты;

- в каждом населенном пункте устанавливаются места, где проживают семьи - улицы, дома. Для этого используется механический отбор (по списку улиц и нумерации домов);

- в каждом месте проживания семей отбираются конкретные семьи, для чего применяется собственно-случайный бесповторный или механический отбор. Для отбора используют перечень номеров квартир или списки семей.

Методы формирования выборки влияют на точность статистических оценок через ошибки выборки, а также на объем выборочной совокупности, на ее численность.

7.7 Определение численности выборки

Численность выборки – один из факторов, влияющих на величину ее ошибки: чем она больше, тем меньше ошибка. С другой стороны, с объемом выборки связаны затраты на проведение исследования: чем она больше, тем больше затраты.

Таким образом, выборка должна быть оптимальной по численности, чтобы обеспечить достоверность результатов исследованияи не вызвать дополнительных затрат труда и денежных средств.

Численность выборки может быть определена исходя из допустимой ошибки при выборочном наблюдении с учетом способа отбора статистических единиц. Для определения необходимой численности выборки следует задаться предельной ошибкой выборки. В общем случае предельная ошибка выборки связана с ее численностью следующим соотношением:

, откуда .

Эта формула показывает, что с увеличением предполагаемой ошибки значительно уменьшается необходимый объем выборки и наоборот.

Для разных характеристик и разных методов формирования выборок формулы для определения необходимой численности выборки приведены в таблице 7.2.

На практике установление необходимого объема выборки часто составляет серьезную проблему, связанную с определением показателя вариации изучаемого признака. К началу проведения выборочного наблюдения показатели вариации неизвестны.

Приблизительно показатель вариации определяют одним из следующих способов:

- берут из предыдущих исследований;

- по правилу «трех сигм», в соответствии с которым общий размах вариации R при нормальном распределении укладывается в 6 среднеквадратических отклонений , отсюда ; для бóльшей точности R делят на 5;

- если хотя бы приблизительно известна средняя величина изучаемого признака , то среднеквадратическое отклонение ;

- при изучении альтернативного признака, если нет других данных можно брать максимальную величину дисперсии, равную 0,25, то есть × (1− ) = 0,25.

- проводят «пробную» выборку, по которой рассчитывают показатель вариации, используемый в качестве оценки генеральной совокупности.

Таблица 7.3 – Формулы определения численности выборки при разных методах отбора

Вид выборочного наблюдения	Повторный отбор	Бесповторный отбор
Собственно - случайная выборка:
а) при определении среднего размера признака
б) при определении доли признака
Механическая выборка	То же	То же
Типичная выборка:
а)при определении среднего размера признака
б) при определении доли признака
Серийная выборка:
а)при определении среднего размера признака
б) при определении доли признака

Рассмотрим следующий пример:

Исходя из технических условий необходимо установить оптимальный объем выборки для партии стальных листов, равной N=2000 шт., чтобы с вероятностью Р=0,954 предельная ошибка не превышала 10% толщины листа. По техническим условиям толщина листа составляет 5 мм. При этом среднеквадратическое отклонение толщины листа = ±1мм. Формирование выборки проведено методом бесповторного отбора.

Относительную предельную ошибку толщины листа переведем в абсолютную ошибку:

Рассчитаем оптимальный объем выборки для средней при бесповторном отборе на основе следующих данных: N =2000 шт., = ±1мм., = 0,5 мм., t = 2 при Р =0,954.

Таким образом, выборка численностью 148 листов обеспечивает заданную точность при бесповторном отборе.

7.8 Понятие о малой выборке

При большом числе единиц выборочной совокупности (n >100) распределение случайных ошибок выборочной средней в соответствии с теоремой А.М.Ляпунова нормально или приближается к нормальному по мере увеличения числа наблюдений.

Однако в практике статистических исследований в условиях рыночной экономики все чаще приходится сталкиваться с малыми выборками.

Малой выборкой называется такое выборочное наблюдение, численность единиц которого не превышает 30.

Разработка теории малой выборки была начата английским статистиком В.С. ГОССЕТОМ (печатавшимся под псевдонимом СТЬЮДЕНТ). Он доказал, что оценка расхождения между средней малой выборки и генеральной средней имеет особый закон распределения.

При оценке результатов малой выборки величина генеральной совокупности не используется. Для определения возможных пределов ошибки пользуются критерием Стьюдента, определяемым по формуле:

, где

- средняя ошибка малой выборки.

Величина вычисляется на основе данных выборочного наблюдения: .

Данная величина используется лишь для исследуемой совокупности, а не в качестве приближенной оценки в генеральной совокупности.

Предельная ошибка малой выборки () в зависимости от средней ошибки() представляется как

Однако для малой выборки величина коэффициента доверия t по другому связана с вероятностной оценкой, чем при большой выборке (так как, закон распределения отличается от нормального). Согласно установленному Стьюдентом закону распределения, вероятная ошибка распределения зависит как от величины коэффициента доверия t, так и от объема выборки. В таблице 7.4 приведен фрагмент таблицы распределения Стьюдента.

Таблица 7.4 - Распределение вероятностей в малых выборках в зависимости от

коэффициента доверия t и объема выборки

n	t
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0

Примечание. 1. Для определения вероятности соответствующие табличные значения необходимо разделить на 1000

2.При n = приведены вероятности нормального распределения.

Как видно из табл. 3, при увеличении n распределение стремится к нормальному и уже при n = 20практически от него не отличается.

Пример. Предположим, что выборочное обследование 10 рабочих мест малого предприятия показало, что на выполнение одной из производственных операций рабочие затрачивали время (мин.): 3,4; 4,7; 1,8; 3,9; 4,2; 3,9; 3,7; 3,2; 2,2; 3,9.

Алгоритм расчета характеристик малой выборки.

1. Определяем выборочную среднюю затрат времени на выполнение технологической операции:

2. Рассчитываем выборочную дисперсию:

3. Определяем среднюю ошибку малой выборки:

4. Принимаем коэффициент доверия t =2 и по таблице Стьюдента для n =10 вероятность 0,924.

Вывод. С вероятностью 0,924 можно утверждать, что расхождение между выборкой и генеральной совокупностью находится в пределах от до , т.е разность не превысит по абсолютной величине значение 0,56(2*0,28). Следовательно, средние затраты времени во всей совокупности будут находится в пределах от 2,93 до 4,05мин. Вероятность того, что данный вывод не буден выполняться равна 1 – 0,924 = 0,076»7,6 %.

7.9 Способы распространения результатов выборочного наблюдения на генеральную

совокупность

Характеристики выборки могут быть распространены на генеральную совокупность с помощью одного из двух способов распространения выборочных данных:

- способа прямого пересчета;

- способа поправочных коэффициентов.

При первом способе средние величины и доли, полученные по выборке, переносятся на генеральную совокупность. При этом генеральная средняя определяется как , а генеральная доля – как Р .

Способ поправочных коэффициентов применяется, когда целью выборочного исследования является уточнение результатов сплошного наблюдения. Для этого после обобщения данных сплошного наблюдения практикуется 10%-ное выборочное наблюдение с установлением поправочного коэффициента , который устанавливает процент расхождений между данными сплошного и выборочного наблюдения.

Например, при проведении сплошного учета уличных торговых мест в городе их было зарегистрировано N=1000 шт. С целью уточнения данных через полгода был проведен контрольный обход части города и зарегистрировано 210 уличных торговых мест. По данным сплошного учета их было 200шт.

Необходимо уточнить число уличных торговых мест на новую дату.

На новую дату число торговых мест составят

Упражнения и задачи

Задача 7.1

Для определения среднего возраста 1200 студентов факультета необходимо провести выборочное обследование методом случайного бесповтороного отбора. Предварительно установлено, что среднее квадратическое отклонение возраста студентов равно 10 годам . Сколько студентов нужно обследовать, чтобы с вероятностью 0,954 средняя ошибка выборки не превышала 3 года?

Задача 7.2

В цехе предприятия 10 бригад рабочих. С целью изучения их производительности труда была осуществлена 20%-ная серийная выборка, в которую попали 2 бригады. В результате обследования установлено, что средняя выработка рабочих в бригадах составила 4,6 и 3 тонн. С вероятностью 0,997 определить пределы, в которых будет находиться средняя выработка рабочих цеха.

Задача 7.3

Методом собственно случайной 10 %-ной выборки обследована жирность молока у 100 коров. По данным выборки средняя жирность молока оказалась равной 3,64%, а дисперсия составила 2,56. Определить: 1) среднюю ошибку выборки; 2) с вероятностью, равной 0,954, предельные значения генеральной средней; 3) доверительный интервал для генеральной средней

Задача 7.4

Как изменится величина ошибки бесповторной выборки, если объем увеличится с 5 до 25%.

Задача 7.5

Для определения среднего возраста мужчин, вступающих в брак, в районе была проведена 5%-ная типическая выборка с отбором единиц пропорционально численности типических групп. Внутри групп применялся механический отбор.

Данные по выборке представлены в таблице 7.5:

Таблица 7.5 – Исходные данные

Соц. группа	Число мужчин, ni	Ср. возраст, xi	Среднее квадратическое отклонение,	Доля мужчин, вступивших во второй брак, %, wi
Рабочие
Служащие

С вероятностью 0,954 определить пределы, в которых будет находиться средний возраст мужчин, вступающих в брак, и долю мужчин, вступающих в брак во второй раз.

Задача 7.6

На основе выборочного обследования методом простой случайной выборки 600 рабочих одной из отраслей промышленности установлено (повторный отбор), что удельный вес численности женщин составил 0,4. С какой вероятностью можно утверждать, что при определении доли женщин, занятых в этой отрасли, допущена предельная ошибка выборки, не превышающая 5%?

Задача 7.7

Среди выборочно обследованных 1000 семей региона по уровню дохода (выборка 2%-ная, механическая) малообеспеченных оказалось 300 семей. Требуется с вероятностью 0,997 определить долю малообеспеченных семей в регионе.

Задача 7.8

Сколько рабочих завода нужно обследовать в порядке случайной повторной выборки для определения средней заработной платы, чтобы с вероятностью, равной 0,954, можно было бы гарантировать ошибку в размере не более 5 рублей? Предполагаемое среднее квадратическое отклонение

Задача 7.9

Для определения урожайности зерновых культур проведено выборочное обследование 100 хозяйств региона различных форм собственности, в результате которого получены сводные данные (табл. 7.6):

Таблица 7.6 – Исходные данные

Хозяйства	Кол-во обследованных хозяйств (f)	Средняя урожайность, ц/га (xi)	Дисперсия урожайности в каждой группе, ()
Коллективные
ОАО
Фермерские
Итого

Необходимо с вероятностью 0,954 определить предельную ошибку выборочной средней и доверительные пределы средней урожайности зерновых культур по всем хозяйственным регионам.

Задача 7.10

Для определения среднего срока пользования краткосрочным кредитом в банке было произведена 5%-ая механическая выборка, в которую попало 100 счетов. В результате обследования установлено, что средний срок пользования краткосрочным кредитом – 30 дней при среднем квадратическом отклонении 9 дней. В пяти счетах срок пользования кредитом превышал 60 дней. С вероятностью 0,954 определить пределы, в которых будут находиться срок пользования краткосрочным кредитом в генеральной совокупности и доля счетов со сроком пользования краткосрочным кредитом более 60 дней.

Задача 7.11

По городской телефонной сети в порядке случайной выборки (механической) отбор произвели 100 наблюдений и установили среднюю продолжительность одного телефонного разговора 5 мин., при среднем квадратическом отклонении 2 мин.

Какова вероятность того, что ошибка репрезентативности при определении средней продолжительности телефонного разговора не превысит 18 сек.?

Задача 7.12

Для определения зольности угля в порядке случайной выборки было обследовано 100 проб угля. В результате обследования установлено, что средняя зольность угля в выборке 16%, среднее квадратическое отклонение 5%. В десяти пробах зольность угля составила более 20%. С вероятностью 0,954 определить пределы, в которых будут находиться средняя зольность угля в месторождении и доля угля с зольностью более 20%.

Задача 7.13

На предприятии в порядке случайной бесповторной выборки было опрошено 100 рабочих из 1000 и получены следующие данные об их доходе за октябрь:

Месячный доход, руб. Число рабочих

600-1000 12

1000-1400 60

1400-1800 20

1800-2200 8

Определить: 1) среднемесячный размер дохода у работников данного предприятия, гарантируя результат с вероятностью 0,997; 2) долю рабочих предприятия, имеющих месячный доход 1400 руб. и выше, гарантируя результат с вероятностью 0,954; 3) необходимую численность выборки при определении среднего месячного дохода работников предприятия, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка выборки не превышала 50 руб.; 4) необходимую численность выборки при определении доли рабочих с размером месячного дохода 1400 руб. и выше, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка не превышала 4%.

Задача 7.14

В каком соотношении находится (при прочих равных условиях) ошибки случайной повторной и случайной бесповторной выборок при 10% отборе?

Задача 7.15

Из партии изготовленных изделий общим объемом 2000 единиц проверено посредством механической выборки 30% изделий, из которых бракованными оказались 12 изделий.

Определить: 1) долю бракованных изделий по данным выборки; 2) пределы, в которых находится процент бракованных изделий, для всей партии (с вероятностью 0,954)

Задача 7.16

По данным выборочного обследования 10 000 пассажиров пригородного сообщения средняя дальность поездки пассажира составила 35,5 км, а среднее квадратическое отклонение – 16,0 км.

Определить: 1) пределы средней дальности поездки пассажиров с вероятностью 0,954; 2) как изменится предельная ошибка выборки, если вероятность будет принята равной 0,997?

Задача 7.17

Объем выборки увеличился в 2 раза. Определить, как изменится ошибка простой случайной повторной выборки.

Задача 7.18

Какова должна быть численность механической выборки для определения доли служащих, прошедших повышение квалификации по использованию вычислительной техники, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка репрезентативности не превышала 10%? Общая численность служащих предприятия составляет 324 человека.

Задача 7.19

Сколько фирм необходимо проверить налоговой инспекции района, чтобы ошибка доли фирм, несвоевременно уплативших налоги, не превысила 5%? По данным предыдущей проверки, доля таких фирм составила 32%. Доверительную вероятность принять равной 0,954.

Контрольные вопросы

1. Сущность и значение выборочного метода как разновидности несплошного статистического наблюдения.

2. Случаи использования выборочного метода.

3. Проявление закона больших чисел и теории вероятности в выборочном обследовании.

4. Различие повторного и бесповторного отбора.

5. Преимущества выборочного метода как разновидности несплошного статистического наблюдения.

6. Недостатки выборочного метода как разновидности несплошного статистического наблюдения.

7. Виды ошибок в данных выборочного наблюдения.

8. Средняя и предельная ошибки выборки.

9. Показатель доли, расчет средней и предельной ошибок для доли, определение доверительных интервалов.

10. Теоретическое и практическое обоснование объема выборки.

11. Характеристика простой случайной выборки, формулы расчета предельных ошибок и объема выборки.

12. Расслоенная (типическая) выборка, формулы расчета предельных ошибок и объема выборки.

13. Механическая выборка, формулы расчета предельных ошибок и объема выборки.

14. Серийная (гнездовая) выборка, формулы расчета предельных ошибок и объема выборки.

15. Характеристика малой и комбинированной выборок.

Тема №8

Статистическое изучение динамики социально-экономических явлений

и процессов

8.1 Ряды динамики и их классификация

Ряды динамики представляют собой ряды изменяющихся во времени значений статистического показателя, расположенного в хронологическом порядке.

Составными элементами ряда динамики являются показатели уровней ряда и периоды времени (годы, кварталы, месяцы, сутки) или моменты (даты) времени.

Уровни ряда обычно обозначаются через "У", периоды времени или моменты через " t ".

Ряд динамики, хронологический ряд, динамический ряд, временной ряд – это последовательность упорядоченных во времени числовых показателей, характеризующих уровень развития изучаемого явления. Всякий ряд динамики включает, следовательно, два обязательных элемента: во-первых, время и, во-вторых, конкретное значение показателя, или уровень ряда. Ряды динамики различаются по следующим признакам.

1. По времени – интервальные и моментные ряды. Интервальный ряд динамики – последовательность, в которой уровень явления относится к результату, накопленному или вновь произведенному за определенный интервал времени (например за сутки, месяц, годи. т. п.). Таковы, например, ряды показателей объема продукции по месяцам года, количества отработанных человеко-дней по отдельным периодам и т.д. Если же уровень ряда показывает фактическое наличие изучаемого явления в конкретный момент времени (на начало месяца, квартала, года и т. п.), то совокупность уровней образует моментный ряд динамики. Примерами моментных рядов могут быть последовательности показателей численности населения на начало года, величины запаса какого-либо материала на начало периода и т.д.

Особенность интервального ряда состоит в том, что его уровни характеризуют собой суммарный итог какого либо явления за определенный отрезок времени. Они зависят от продолжительности этого периода времени, их можно суммировать, как не содержащие повторного счета.

Особенность моментного ряда состоит в том, что его уровни, как правило, содержат элементы повторного счета, например число вкладов населения, учитываемых за январь, существует и в настоящее время, являясь единицами совокупности в июне. В результате чего суммировать уровни ряда не целесообразно.

2. По форме представления уровней – ряды абсолютных, относительных и средних величин (табл. 8.1 – 8.3).

3. По расстоянию между датами или интервалам времени выделяют полные и неполные хронологические ряды.

Полные ряды динамики имеют место, когда даты регистрации или окончания периодов следуют друг за другом с равными интервалами. Это равноотстоящие ряды динамики (см. табл. 8.1 и 8.2). Неполные – когда принцип равных интервалов не соблюдается (см. табл. 8.3).

Таблица 8.1- Численность постоянного населения Брянской области (на конец года),

тыс. чел.

Численность постоянного населения (на конец года), тыс. человек	1361,1	1346,5	1331,4	1317,6	1308,5

Таблица 8.2 - Общие коэффициенты рождаемости в Брянской области (число родившихся на 1000 человек населения)

Всего по области	9,1	9,2	9,0	9,1	10,2

Таблица 8.3 - Среднемесячная начисленная заработная плата работающих в Брянской области

Среднемесячная начисленная заработная плата работающих в экономике, рублей	3316,0	4196,1	5235,3	6533,5	8188,9

4. В зависимости от наличия основной тенденции изучаемого процесса ряды динамики подразделяются на стационарные и нестационарные. Если математическое ожидание значения признака и дисперсия постоянны, не зависят от времени, процесс считается стационарным и ряды динамики также называются стационарными. Экономические и социальные процессы во времени обычно не являются стационарными, так как содержат основную тенденцию развития, но их можно преобразовать в стационарные путем исключения тенденций.

Чтобы о развитии явления можно было получить представление при помощи числовых уровней, при составлении ряда динамики должны приводиться в сопоставительный вид.

Статистические данные должны быть сопоставимы по территории, кругу охватываемых объектов, единицам измерения, времени регистрации, ценам, методологии расчета. Сопоставимость по территории означает, что данные по странам и регионам, границы которых изменились, должны быть пересчитаны в старых пределах. Сопоставимость по кругу охватываемых объектов означает сравнение совокупностей с равным числом элементов. Территориальная и объемная сопоставимость обеспечивается смыканием рядов динамики, при этом либо абсолютные уровни заменяются относительными, либо делается пересчет в условные абсолютные уровни. Не возникает особых сложностей при обеспечении сопоставимости данных по единицам измерения; стоимостная сравнимость достигается системой сопоставимых цен.

Числовые уровни рядов динамики должны быть упорядоченными во времени. Не допускается анализ рядов с пропусками отдельных уровней, если же такие пропуски неизбежны, то их восполняют условными расчетными значениями.

8.2 Показатели анализа рядов динамики

При изучении явления во времени перед исследователем встает проблема описания интенсивности изменения и расчета средних показателей динамики. Решается она путем построения соответствующих показателей. Для характеристики интенсивности изменения во времени такими показателями будут:

- абсолютный прирост,

- темпы роста,

- темпы прироста,

- абсолютное значение одного процента прироста.

Расчет показателей динамики представлен в таблице 8.4.

Таблица 8.4 – Алгоритм расчета показателей динамики

Показатель	Базисный	Цепной
Абсолютный прирост	Yi-Y0	Yi-Yi-1
Коэффициент роста (Кр)	Yi : Y0	Yi: Yi-1
Темп роста (Тр)	(Yi : Y0)×100	(Yi : Yi-1)×100
Коэффициент прироста (Кпр)
Темп прироста (Тпр)
Абсолютное значение одного процента прироста (А)

В случае, когда сравнение проводится с периодом (моментом) времени, начальным в ряду динамики, получают базисные показатели. Если же сравнение производится с предыдущим периодом или моментом времени, то говорят о цепных показателях.

Система средних показателей динамики включает:
средний уровень ряда,
средний абсолютный прирост,
средний темп роста,
средний темп прироста.

Средний уровень ряда – это показатель, обобщающий итоги развития явления за единичный интервал или момент из имеющейся временной последовательности. Расчет среднего уровня ряда динамики определяется видом этого ряда и величиной интервала, соответствующего каждому уровню.

Для интервальных рядов с равными периодами времени средний уровень рассчитывается следующим образом:

где n– общая длина временного ряда или общее число равных временных отрезков, каждому из которых соответствует свой уровень Y_i (1 = 1, 2,..., n).

Для моментных рядов с равностоящими уровнями средний уровень рассчитывается в предположении, что в пределах каждого периода, разделяющего моментные наблюдения, развитие явления происходило по линейному закону. Тогда общий средний уровень вычисляется по формуле средней хронологической:

.

Средний абсолютный прирост показывает, на сколько единиц в среднем увеличивался или уменьшался каждый уровень ряда по сравнению с предыдущим за ту или иную единицу времени (в среднем ежемесячно, ежегодно и т.п.).

Средний абсолютный прирост характеризует среднюю абсолютную скорость роста (или снижения) уровня ряда. Его рассчитывают в зависимости от исходных данных следующими способами:

1) как простую среднюю арифметическую из абсолютных приростов (цепных) за последовательные промежутки времени: ;

2) как частное от деления базисного абсолютного прироста конечного уровня ряда на продолжительность периода: ;

3) через накопленный (базисный) абсолютный прирост: .

Средний коэффициент роста (снижения) показывает, во сколько раз в среднем за единицу времени изменяется уровень ряда динамики. Для его вычисления используется формула средней геометрической в предположении, что соблюдается равенство фактического отношения конечного уровня к начальному при замене фактических темпов на средние. В зависимости от наличия исходных данных расчет проводят следующим образом:

1) если исходной информацией служат цепные коэффициенты роста, то формула имеет вид: , где П – произведение цепных показателей динамики.

2) Через базисный коэффициент роста конечного периода: ;

3) Если известны уровни динамического ряда:

Средний темп роста представляет собой средний коэффициент роста, выраженный в процентах .

Пример.

Имеются следующие данные (табл. 8.5) о производстве хлеба и хлебобулочных изделий в регионе за сутки:

Таблица 8.5 – Исходные данные

Хлеб и хлебобулочные изделия, т

Определить показатели динамики производства хлеба и хлебобулочных изделий от года к году и средние за весь анализируемый период.

Решение:

Наименование показателя	Год
Абсолютный прирост , тыс.шт.	с переменной базой	-
с постоянной базой	-
Коэффициент роста (Кр)	с переменной базой	-
с постоянной базой	-
Темп роста, Тр, %	с переменной базой	-
с постоянной базой	-
Темп прироста, Тпр, %	с переменной базой	-
с постоянной базой	-
Абсолютное значение 1% прироста (снижения) А, тыс. шт.	с переменной базой	-
с постоянной базой	-

Средний уровень интервального ряда динамики:

Средний абсолютный прирост:

Средний коэффициент роста:

или

Средний темп роста:

Средний темп прироста:

Средняя величина абсолютного значения 1% прироста (снижения):