Математическая статистика

1. По выборке объема n=51 найдена смещенная оценка D_В=5 генеральной дисперсии. Найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.

2. В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм): 92; 94; 103; 105; 106. Найти: а) выборочную среднюю длину стержня; б) выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.

3. В итоге четырех измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты: 8; 9; 11; 12. Найти: а) выборочную среднюю результатов измерений; б) выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.

4. Изготовлен экспериментальный игровой автомат, который должен обеспечить появление выигрыша в одном случае из 100 бросаний монеты в автомат. Для проверки пригодности автомата произведено 400 испытаний, причем выигрыш появился 5 раз. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестную вероятность появления выигрыша с надежностью γ=0,999.

5. По результатам контроля n = 9 деталей вычислено выборочное среднее квадратическое отклонение S = 5 мм. В предположении, что ошибка изготовления деталей распределена нормально, определить с надежностью g = 0,95 доверительный интервал для параметра s.

6. Средняя урожайность пшеницы на 17 опытных участках области составила = 25 ц/га, а S = 2 ц/га. Найти с надежностью 0,9 границы доверительного интервала для оценки генеральной средней.

7. По результатам n = 10 наблюдений установлено, что средний темп роста акций предприятий отрасли равен = 104,4%. В предположении, что ошибки наблюдений распределены по нормальному закону со средним квадратическим отклонением s = 1%, определить надежность g = 0,95 интервальную оценку для генеральной средней m.

8. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,925 точность оценки математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности по выборочной средней равна 0,2, если известно среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности σ=1,5.

9. При испытаниях были получены значения максимальной скорости самолета: 423, 426, 420, 425, 421, 423, 432, 427, 439, 435 м/с. Сделав предположение, что максимальная скорость самолета есть нормальная случайная величина, проверить гипотезу H₀ : µ₀ = 430 м/с при конкурирующей гипотезе H₁: µ₁ = 420 м/с и вычислить мощность критерия при a=0,005.

10. По двум независимым выборкам, объемы которых n=40 и m=50, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные средние, соответственно равные 130 и 140. Генеральные дисперсии известны: D(X)=80, D(Y)=100. Требуется при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу Н₀: М(X)=М(Y) при конкурирующей гипотезе H₁: M(X)≠M(Y).

11. По двум независимым выборкам, объемы которых n₁=14 и n₂=10, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены исправленные выборочные дисперсии s_X²=0,84 и s_Y²=2,52. При уровне значимости α=0 проверить нулевую гипотезу H₀: D(X)=D(Y) о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе H₁: D(X)≠D(Y).

12. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема n=21 и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия s²=16,2. Требуется при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу H₀: σ²=σ₀²=15, приняв в качестве конкурирующей гипотезы Н₁: σ²>15.

Тесты

Раздел «Теория вероятностей»

Вопрос 1

Вероятность события это:

1)	отношение где число исходов испытаний, благоприятствующих появлению события , -общее число исходов испытаний;
2)	числовая мера появления события в испытаниях;
3)	отношение где число появлений событий А в испытаниях;
4)	число элементарных событий в некотором подмножестве .

Вопрос 2.

Число сочетаний из n элементов по m (m < n) равно:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Вопрос 3

Ковариация случайных величин Х и У вычисляется по формуле:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Вопрос 4

Суммой двух событий и называют:

1)	событие , состоящее из элементарных событий, принадлежащих или событию или ;
2)	событие , состоящее из элементарных событий, принадлежащих или событию или ;
3)	событие , состоящее из элементарных событий, принадлежащих и событию и ;
4)	событие , состоящее из элементарных событий, принадлежащих и событию и .

Вопрос 5

Законы распределения случайной дискретной величины представляются в виде:

1) функции распределения и совокупностью значений ;

2) функции распределения и функции плотности

распределения ;

3) функции распределения и совокупностью значений ;

4) функции распределения и рядом распределения

.

Вопрос 6

Математическое ожидание непрерывной случайной величины равно:

1)	;
2)	;
3)
4)

Вопрос 7