Группировка предприятий

Задание 1. Используя данные о деятельности ведущих предприятий России:

а) построить группировку предприятий по признаку «Выпуск продукции», образовав шесть групп с равными интервалами;

Определила оптимальное количество групп с равными интервалами по формуле американского уче­ного Стерджесса:

, где n - число групп; N - число единиц совокупности.

n= 1+3,322*lg 30= 5,9 ≈ 6.

Для группировок с равными интервалами величина ин­тервала равна:

, где h - величина равного интервала; x_max, x_min - наибольшее и наименьшее значения признака в совокупности; n - число групп.

h=(342489-3200)/6=56548 млн.руб.

Если величина равного интервала рассчитывается по вышеуказанной формуле, то следует знаменатель предварительно округлить до целого числа (как правило, всегда большего), так как количество групп не может быть дробным числом.

Результаты сводки и группировки материалов статистического на­блюдения, как правило, излагаются в виде таблиц. Таблица является наиболее рациональной, наглядной и компактной формой представле­ния статистического материала.

Статистическая таблица от других табличных форм отличается следующим:

· содержит результаты подсчета эмпирических данных;

· является итогом сводки первоначальной информации.

Таким образом, статистической называется таблица, которая содержит сводную числовую характеристику исследуемой совокуп­ности по одному или нескольким существенным признакам, взаимо­связанным логикой экономического анализа.

Таблица 1.

Группировка предприятий по выпуску продукции.

№ группы	Группы предприятий по выпуску продукции, млн.руб.	Кол-во предприятий	Накопленная частота	Середина интервала
	От 3 200 до 59 748			31474,13
	От 59 748 до 116296			88022,22
	От 116 296 до 172844			144570,31
	От 172 844 до 229392			201118,41
	От 229 392 до 285941			257666,50
	От 285 941 до 342489			314214,59

Таким образом, наибольшее количество предприятий, равное 16, попало в первую группу с выпуском продукции от 3200 до 59748 млн.руб.

б) построить диаграмму, отражающую результат группировки. Графически определила значения моды и медианы;

Рисунок 1. Гистограмма распределения предприятий по величине выпуска

Определим моду по гистограмме распреде­ления. Для этого выбираем самый высокий прямоугольник, кото­рый в данном случае является модальным. Затем правую вершину модального прямоугольника соединяем с нулем. А левую вершину модального прямоуголь­ника - с левым верхним углом последующего прямоугольника. Далее из точки их пересечения опускаем перпендикуляр на ось абсцисс. Абсцисса точки пересечения этих прямых и есть мода распре­деления. Мода равна 35274 млн.руб.

Для графического изображения вариационных рядов может так­же использоваться кумулятивная кривая. При помощи кумуляты изоб­ражается ряд накопленных частот.

При построении кумуляты интервального вариационного ряда по оси абсцисс откладываются варианты ряда, а по оси ординат накоп­ленные частоты, которые наносят на поле графика в виде перпенди­куляров к оси абсцисс в верхних границах интервалов. Затем эти пер­пендикуляры соединяют и получают ломаную линию, т.е. кумуляту. Используя данные накопленного ряда, постро­им кумуляту распределения.

Рисунок 2. Кумулята распределения предприятий по величине выпуска продукции.

Медиану рассчитаем по кумуляте. Для ее определе­ния из точки на шкале накопленных частот, соответству­ющей 50%, проводим прямую, параллельную оси абсцисс, до пере­сечения с кумулятой. Затем из точки пересечения указанной прямой с кумулятой опускаем перпендикуляр на ось абсцисс. Абсцисса точ­ки пересечения является медианой. Медиана равна 31474 млн.руб.

в) определить показатели центра распределения предприятий по выпуску продукции: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, квартили, децили;

Чтобы опреде­лить значение признака, характерное для всей изучаемой совокуп­ности единиц, прибегают к расчету средних величин.

Средней величиной в статистике называется обобщающий по­казатель, характеризующий типичный уровень явления в конкрет­ных условиях места и времени, отражающий величину варьирую­щего признака в расчете на единицу качественно однородной со­вокупности.

Наиболее распространенным видом средних является средняя арифметическая. Она применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности является суммой значений признаков отдельных ее единиц. Для общест­венных явлений характерна аддитивность (суммарность) объе­мов варьирующего признака, этим определяется область при­менения средней арифметической и объясняется ее распро­страненность как обобщающего показателя.

Средняя арифметическая взвешенная — средняя сгруппиро­ванных величин х₁, x₂,..., х_n, — вычислила по формуле:

, где f_1, f_2,…,f_n – веса (частоты повторения одинаковых признаков); ∑ xf – сумма произведений величины признаков на их частоты; ∑f – общая численность единиц совокупности.

Средняя арифметическая взвешенная = (503586,03+264066,66+ 722851,57+402236,81+257666,0+942643,78)/30=3093051,35/30=103101.71 млн.руб.

Вычислим среднюю арифметическую по исходным данным по формуле средней арифметической простой: .

Дисперсия признака представляет собой средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины. Рассчитаем дисперсию по формуле взвешенной дисперсии:

σ² = 268179337961,42/30= 8939311265 млн.руб.

Среднее квадратическое отклонение - это обобщаю­щая характеристика размеров вариации признака в совокупности; оно показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения; является абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах, что и варианты, поэтому экономически хорошо интерпретируется.

Среднее квадратическое отклонение равно корню квад­ратному из дисперсии:

σ = 94548 млн.руб.

В статистической практике часто возникает необходи­мость сравнения вариаций различных признаков. Для осуществления такого рода сравнений, а также сравнений колеблемости одного и того же признака в не­скольких совокупностях с различным средним арифметиче­ским используют относительный показатель вариации – ко­эффициент вариации.

Коэффициент вариации представляет собой выраженное в процентах отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

Коэффициент вариации используют не только для срав­нительной оценки вариации единиц совокупности, но и как характеристику однородности совокупности. Совокупность считается количественно однородной, если коэффициент вариа­ции не превышает 33 %.

V = 94548/103102=92%, значит, совокупность считается количественно неоднородной, так как данное значение превышает 33%.

Таблица 2.

Результаты расчета средней арифметической, среднего квадратического отклонения, коэффициента вариации.

№ п/п	Показатель	Значение
	Средняя арифметическая, (ха), млн. руб.
	Дисперсия
	Среднее квадратическое отклонение, млн. руб.
	Коэффициент вариации, %	0,92

Анализируя полученные значения можно сделать вывод, что средний выпуск продукции составил 103102 млн.руб., отклонение от среднего уровня составляет 94548 млн.руб. Коэффициент вариации равен 92%, что превышает 33%, значит совокупность считается неоднородной.

Квартили представляют собой значение признака, делящее ранжи­рованную совокупность на четыре равновеликие части. Различают квар­тиль нижний (Q₁), отделяющий 1/4 часть совокупности с наименьшими значениями признака, и квартиль верхний (Q3), отсекающий 1/4 часть с наибольшими значениями признака. Для расчета квартилей по интервальному вариационному ряду использовала формулы:

,

,

где x_Q1 - нижняя граница интервала, содержащего нижний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 25%);

х_Q3 - нижняя граница интервала, содержащего верхний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 75%);

i - величина интервала;

S_Q1-1 - накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содер­жащему нижний квартиль;

S_Q3-1 - то же для верхнего квартиля;

f_Q1 - частота интервала, содержащего нижний квартиль;

f_Q3 - то же для верхнего квартиля.

Номер квартиля 1= (30+1)/4=8, номер квартиля 3 =(3*(30+1))/4=23.

Квартиль 1 = 3200+56548*((1/4*30-0)/15)=29707 млн.руб.

Квартиль 3 = 172844+56548*((3/4*30-23)/2)=130433,29 млн.руб.

Это означает, что 25 % предприятий имеют величину выпуска продукции менее 29707 млн.руб., 25 % - свыше 29707 млн.руб., а остальные имеют величину выпуска продукции в размере от 29707 до 130433,29 млн.руб.

Децили - это значения варианта, которые делят ранжирован­ный ряд на десять равных частей: 1-й дециль (d₁) делит совокупность в соотношении 1/10 к 9/10, 2-й дециль (d₂) - в соотношении 2/10 к 8/10 и т.д. [4]

,

Номер дециля 1= (30+1)/10=3, номер дециля 9 =(9*(30+1))/10=28.

Дециль 1 = 3200+56548*((0,1*30-0)/15)=13802,8 млн.руб.

Дециль 9 = 285941+56548*((0,9*30-27)/3)=285940,55 млн.руб.

Таким образом, 10% предприятий имеют величину выпуска продукции менее 13802,8 млн.руб., а 90% предприятий – более 13802,8 млн.руб.

г) вычислить среднюю арифметическую по исходным данным, сравнить её с аналогичным показателем, рассчитанным в пункте в) настоящего задания. Объяснить причину их расхождения.

Средняя арифметическая взвешенная = 3063310,47/30=103102млн.руб.

Вычислим среднюю арифметическую по исходным данным по формуле средней арифметической простой: .

Средняя арифметическая простая = 2757342/30 = 92804 млн.руб.

Сравнив её с аналогичным показателем, рассчитанным по формуле средней арифметической взвешенной, выявила их расхождение, которое объясняется тем, что в расчете на основе ряда распределения мы уже не располагаем исходными индивидуальными данными, а вынуждены ограничиваться лишь сведениями о величине середины интервала.