Построение доверительного интервала дисперсии

В курсе математической статистики доказано, что в выборке из нормальной ге-

неральной совокупности с параметрами случайная величина ,

где – оценка неизвестной дисперсии, равная , имеет распределение

с n степенями свободы. Если параметр неизвестен, то в выражении можно заменить на его оценку ; в этом случае случайная величина также имеет распределение , но уже с , а не с n степенями свободы.

Пусть числа выбраны таким образом, что

, (9)

где – заданная доверительная вероятность.

Равенство (9) означает, что c вероятностью . Последнее двойное неравенство эквивалентно следующему:

. (10)

Следовательно, является доверительным интервалом дисперсии, соответствующим доверительной вероятности .

Однако по заданной вероятности можно построить множество доверительных интервалов для дисперсии. Принято выбирать так, чтобы вероятности были равны и равны (рис. 1).

Соответствующие значения могут быть определены по таблице А2.

Замечание. При больших объемах выборок можно воспользоваться тем, что рассмотренные оценки математического ожидания и дисперсии распределены

асимптотически нормально.

Рисунок 1. График плотности - распределения с степенями свободы

x