Предельные теоремы. Если монета бросается 100 раз подряд, то вероятность того, что

Если монета бросается 100 раз подряд, то вероятность того, что

орёл выпадет 50 раз определяется по формуле биномиального распределения Однако вычислять столь большие величины как 100! затруднительно даже на вычислительной машине. Поэтому весьма важны предельные теоремы теории вероятностей.

Закон больших чисел.

Пусть Х₁,Х_2,…– независимые, одинаково распределённые сл.вел. с математическим ожиданием m. Тогда их среднее арифметическое Y = стремится к m с ростом n, т.е. для любого сколь угодно малого e .

Р ()

Согласно закону больших чисел число выпадения орла при 100- кратном бросании монеты будет ненамного отличаться в процентном отношении от 50.

Центральная предельная теорема.

Пусть Х₁, Х₂,…– независимые, одинаково распределённые сл.вел. с математическим ожиданием m и дисперсией s². Тогда сл.вел. будет иметь математическое ожидание и дисперсию . Приведём её к стандартному виду Тогда согласно центральной предельной теореме в пределе сл.вел. распределена по закону

С помощью центральной предельной теоремы можно найти, например, вероятность того, что при 100- кратном бросании монеты число выпадений орла Х будет заключено в интервале от 45 до 55. Сл.вел. Х есть сумма бернулиевских сл.вел. Х₁, Х₂, …, Х₁₀₀, каждая из которых равна 1 с вероятностью и 0 с вероятностью также . Поэтому Число 100 достаточно велико, чтобы считать, что величина распределена по закону Имеем:

Здесь мы воспользовались чётностью функции из которой следует, что Теперь, обратившись к таблице функции Лапласа Ф(Х) = , данной в Приложении, находим, что Ф (1)=0,341 и искомая вероятность равна 0,682.

Пуассоновское приближение для биномиального распределения.

Пусть Х – биномиальная сл.вел.: Если так, что МХ= остаётся постоянным, то т.е. биномиальное распределение переходит в пуассоновское. Это позволяет приближённо вычислять биномиальные вероятности, когда n велико, р мало, а их произведение nр не слишком малая и не слишком большая величина.

Пусть взято 100 семян, прорастающих с вероятностью 0,02. Какова вероятность, что хотя бы одно из семян прорастёт? (Р(А)=?).

Воспользуемся пуассоновским распределением с параметром

Р (А)=1-Р