Фундаментальный принцип природы: прирост величины пропорционален самой величине

Вернёмся к формуле Панова, описывающей всё более ускоряющееся развитие, и попробуем понять, можно ли в ней применять число е.

Весьма любопытное исследование свойств числа е относительно основных законов физики и физиологии провёл Б. Горобец. Конечно, оно не является строгим подтверждением возможности использования в формуле развития (t_n = - T / еⁿ), именно числа е, однако, некоторое обоснование этому оно даёт. Приведём небольшой отрывок из его работы:

"Всем известно, что незатухающую волну во времени можно описать синусоидой или суммой синусоид и косинусоид. В математике, физике, электротехнике такую волну (с амплитудой, равной 1) описывает экспоненциальная функция (формула Эйлера)

е ^{iB t} = cos B t + i sin B t,

где B - частота гармонических колебаний.

...Далее, представим себе волну не во времени, а в пространстве. Наглядным примером ее может служить стоячая волна (колебания струны, неподвижной в нескольких точках-узлах) или прибрежная песчаная рябь. Математически эта волна вдоль оси О_x запишется как

е ^{i x}=cos x + i sin x.

... Число е как основание функции комплексного переменного отражает два основных закона сохранения: энергии - через однородность времени, импульса - через однородность пространства.

...Важнейший класс процессов - линейные и линеаризованные процессы - сохраняет свою линейность именно благодаря однородности пространства и времени. Математически линейный процесс описывается функцией, которая служит решением дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (этот тип уравнений изучается на первом-втором курсах вузов и колледжей). А ее ядром служит приведенная выше формула Эйлера. Так что решение содержит комплексную функцию с основанием е, такую же, как уравнение волны. Причем именно е, а не другое число в основании степени! Потому что только функция е ^x не изменяется при любом числе дифференцирований и интегрирований. И следовательно, после подстановки в исходное уравнение только решение с основанием е даст тождество, как и надлежит правильному решению.

А теперь запишем решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, описывающее распространение гармонической волны в среде с учетом неупругого взаимодействия с ней, приводящего к рассеянию энергии или же к приобретению энергии от внешних источников:

f(t) = е ^(a+ib)t = е ^at (cos B t + i sin B t).

...А теперь положим B = 0, то есть уничтожим колебательный множитель с числом i в решении, содержащем формулу Эйлера. От бывших колебаний останется только затухающая (или нарастающая) по экспоненте "амплитуда".

...При отсутствии мнимой, чисто колебательной части функции f(t), при B = 0 (то есть при нулевой частоте) действительная часть экспоненциальной функции описывает множество природных процессов, которые идут в соответствии с фундаментальным принципом: прирост величины пропорционален самой величине.

Сформулированный принцип математически выглядит так:? I ~ I? t, где, допустим, I - сигнал, a? t - малый интервал времени, за который происходит прирост сигнала? I. Поделив обе части равенства на I и проинтегрировав, получим ln I ~ kt. Или: I ~ е ^kt - закон экспоненциального нарастания либо убывания сигнала (в зависимости от знака k). Таким образом, закон пропорциональности прироста величины самой величине приводит к натуральному логарифму и тем самым к числу е.

... По экспоненте с действительным аргументом, без колебаний, идет множество процессов в физике, химии, биологии, экологии, экономике и т. д.

Этому закону подчиняются зрение, слух, обоняние, осязание, вкус, эмоции, память (естественно, пока физиологические процессы не переходят скачком в патологические, когда рецепторы подверглись видоизменению или разрушению)....Возьмем для примера чай: стакан чая с двумя кусками сахара воспринимается раза в два более сладким, чем чай с одним куском сахара; но чай с 20 кусками сахара едва ли покажется заметно слаще, чем с 10 кусками...

Наверное, подобный принцип оптимально экономичен и при развитии многих организмов. Это можно наглядно наблюдать по образованию логарифмических спиралей в раковинах моллюсков, рядах семян в корзинке подсолнуха, чешуек в шишках. Расстояние от центра прирастает по закону

р = a е ^kj.

В каждый момент скорость прироста линейно пропорциональна самому этому расстоянию (что легко видеть, если взять производную от записанной функции). По логарифмической спирали выполняют профили вращающихся ножей и фрез ". [16]