Теорема множення діаграм направленості

1.Антенну решітку з N одиночних випромінювачів розмістимо в деякій частині простору V (рис.12.2.). Визначимо поле випромінювання АР в точці M, розміщеній в дальній зоні, як векторну суму полів випромінювання її елементів

(12.1)

Комплексна амплітуда електричного поля n-го елемента АР може бути у векторній формі надана у вигляді

(12.2)

Тут і - амплітуда і фаза струму (поля) в n-му елементі; - ДН n-го елементу; - поляризаційний вектор поля n-го елементу; - сферичні координати точки M в системі координат, центр якої співпадають з n-ним елементом; - константа, що залежить від виду випромінювача. Якщо, наприклад, елементом АР є вібратор з діючою довжиною і струмом живлення , то, порівнюючи формули (9.54) і (12.2), знаходимо, що

(12.3)

2.Поле в дальній зоні визначимо, враховуючи, що лінії, з’єднуючи точку M зі всіма елементами АР, можна рахувати паралельними (див. §8.4). Тоді ,

і . В знаменнику виразу (12.2) можна вважати . Враховуючи безрозмірне амплітудне розподілення струмів (полів) по системі випромінювачів і підставляючи (12.2) в (12.1) отримуємо

(12.4)

Рис.12.2. До доведення теореми множення ДН.

Якщо елементи АР мають різну поляризацію, то поле випромінювання кожного елемента можна подати у вигляді суми меридіанної і азимутної складових і зробити сумування за цими складовими. Модуль суми в формулі (12.4) є амплітудна ДН антенна решітка.

При великому числі випромінювачів визначення ДН в загальному випадку потребує громіздких обчислень. Однак на практиці часто застосовується АР, що складаються з ідентичних і однаково орієнтованих в просторі випромінювачів. Отже,

Тоді формула (12.4) приймає вигляд

(12.5)

Введемо значення

(12.6)

Функція називають множником системи чи множником решітки. Цікавлячись тільки величиною поля випромінювання, можна з (12.5) отримати

(12.7)

З цієї формули видно, що амплітуда ДН системи випромінювачів визначається у вигляді

(12.8)

Для визначення змісту множника припустимо, що кожний випромінювач є ненаправленим (ізотропним), тоді

Формула (12.8) є математичним виразом теореми множення ДН, формулюється наступним чином: діаграма направленості системи ідентичних і однаково орієнтованих в просторі направлених випромінювачів є добутком діаграми направленості одиничного випромінювача, вхідного в систему, на множник системи, але складений з ненаправлених випромінювачів. Слова «такий же» означають, що у системи ненаправлених випромінювачів кількість випромінювачів, їх положення в просторі, а також амплітуди і фази струмів (полів) в випромінювачах такі ж, як і в вихідної системи направлених випромінювачів.

Теорема множення значно спрощує розрахунки, так як дозволяє замінити сумування великого числа членів обчислення добутку двох співмножників.