Десяткова система числення

Означення. Нумерацією або системою числення називається сукупність правил і знаків або слів, за допомогою яких можна записати письмово або назвати усно будь-яке натуральне число.

У десятковій системі числення для запису будь-якого числа використовують десять цифр: 0, 1, 2,..., 9. За основу лічби взято число десять. Будь-яка скінчена послідовність цифр означає деяке число, причому значення цифри залежить від того, яку позицію (місце) вона займає в запису числа; в запису числа кожна цифра означає відповідну кількість розрядних одиниць. Перші десять одиниць називаються одиницями першого розряду, десять одиниць першого розряду становлять одну одиницю другого розряду – десяток; десять одиниць другого розряду – сотню, десять сотень – одну одиницю четвертого розряду – тисячу і т. д. Кожні три послідовні розряди, починаючи з першого, утворюють клас. Три розряди класу називаються одиницями, десятками і сотнями цього класу. За допомогою усної десяткової нумерації називають будь-яке натуральне число. Виходячи з позиційного принципу десяткової нумерації, кожне натуральне число можна подати у вигляді суми добутків чисел, які зображуються цифрами, на відповідні степені числа 10.

Наприклад, 2017 = 2 ∙ 10³ + 0 ·10² + 1 · 10 + 7.

Взагалі десятковим записом натурального числа m називається його подання у вигляді m = a_n · 10 ⁿ + … + a₁ · 10 + a₀ або скорочено

m = a_n a_n-1 … a₁ a₀

Назви класів і розрядів наведено у таблиці

Порівняння чисел у десятковій системі числення:

1) Два числа рівні тоді і тільки тоді, коли всі цифри їх розрядів однакові:

a_ma_m-1… a₁a₀ = b_mb_m-1 … b₁b₀, якщо a_m = b_m, …, a₀ = b₀.

2) Із двох чисел, записаних різною кількістю цифр, більшим є те, в якому більше цифр, тобто яке має одиниці більш високого розряду.

3) Із двох чисел з однаковою кількістю цифр більшим є те, у якому цифра найвищого розряду має більше одиниць, а якщо цифри найвищого розряду однакові, то більшим є число, в якому цифра, що стоїть за ним, має більше одиниць, і т. д.