Квантори

Часто у висловленнях використовуються слова «всі», «деякі», «будь-які», «існує», «хоч би один», «кожен», «знайдеться» тощо.

Наприклад: «Всі числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – одноцифрові», «Деякі з одноцифрових чисел діляться на 3», «Існують рівносторонні трикутники» тощо. Відносно цих речень можна сказати, що вони істинні або хибні, а тому ці речення є висловленнями. Якщо ж з даних речень забрати слова «всі», «деякі», «існують», то вони перетворюються у предикати.

Слова «всі», «деякі» тощо називаються кванторами. Слово «квантор» латин­ського походження і означає «скільки», тобто квантор показує, про скільки об’єктів (про всі чи про деякі) іде мова у даному реченні.

Розрізняють квантори загальності та існування. Квантори загальності позначають знаком (перевернута перша буква англійського слова All - всі), а квантори існування знаком (перевернута перша буква англійського слова Exists – існує).

Квантори загальності ()	Квантори існування ()
всі	існує
кожен	хоч би один
будь-який	деякі
довільний	знайдеться

Форму висловлення з предикатом мають багато математичних речень, наприклад, «всі ромби є паралелограмами»; «деякі непарні числа діляться на 5»; «сума кутів будь-якого трикутника дорівнює 180°».

Правила встановлення значень істинності висловлень, що містять квантори,подані у таблиці:

Висловлення з квантором	А	А
І	шляхом доведення	навести приклад
X	навести контрприклад	шляхом доведення

Для побудови заперечення висловлень, що містять квантори існує два способи:

1. Перед даним висловленням ставляться слова «неправильно, що».

2. Квантор загальності (існування) замінюється квантором існування (загаль­ності), а речення, яке стоїть після квантора, замінюється його запереченням.

Наприклад: побудувати заперечення двома способами висловлення «Будь-яке натуральне число ділиться на 5».

1 спосіб: «Неправильно, що будь-яке натуральне число ділиться на 5».

2 спосіб: «Існує натуральне число, яке не ділиться на 5».