Интегральные показатели качества

Каждый из рассмотренных выше прямых и косвенных показателей качества характеризует лишь одно какое-либо свойство системы, лишь один признак переходного процесса или частотной характеристики. Причем все показатели связаны с настроечными параметрами регулятора сложными зависимостями, имеющими, как правило, противоречивый характер: изменение параметра приводит к улучшению одних показателей качества и к ухудшению других. Это обстоятельство существенно затрудняет выбор параметров регулятора. Поэтому в инженерной практике широко используются интегральные показатели или оценки качества.

Интегральные оценки представляют собой определенные интегралы по времени (в пределах от 0 до ∞) от некоторой функции управляемой переменной х (t) (или сигнала ошибки ε(t)):

(8.44)

Подынтегральная функция f ₀ выбирается таким образом, чтобы интеграл (8.44) лучше характеризовал качество системы и проще выражался через коэффициенты передаточной функции замкнутой системы. Чтобы интеграл был сходящимся, в функцию f ₀ вводят не абсолютные значения х (t) или ε(t), а их отклонения от конечных, установившихся значений.

Простейшей интегральной оценкой является линейная интегральная оценка

(8.45)

которая равна площади, заключенной между прямой х (∞) и кривой переходного процесса х(t) (рис. 8.9, а). Интегральная оценка (8.45) учитывает как величину динамических отклонений, так и длительность их существования. Поэтому чем меньше оценка, тем лучше качество процесса управления.

Рис. 8.9. Интегральные оценки качества

Разность под знаком (8.45) равна динамической или переходной составляющей сигнала ошибки:

(8.46)

поэтому интегральную оценку (8.45) чаще определяют в таком виде:

(8.47)

Интеграл (8.47) соответствует площади под кривой переходной составляющей сигнала ошибки, вызванной изменением задающего воздействия (рис. 8.9, а) или возмущающего воздействия (рис. 8.9, б). Площадь под кривой ε_п(t) будет тем меньше, чем быстрее заканчивается переходный процесс и чем меньше отклонения сигнала х (t) от х _з. Поэтому настроечные параметры регулятора необходимо выбирать таким образом, чтобы интегральная оценка была минимальна.

Недостатком линейной интегральной оценки Q _л является то, что ее можно применять лишь для заведомо неколебательных, апериодических переходных процессов. Действительно, из рис. 8.9, в ясно, что интеграл (8.47), вычисленный для знакопеременной кривой 1, будет существенно меньше интеграла, вычисленного для апериодической кривой 2 (хотя качество переходного процесса 2 явно лучше).

В связи с этим для колебательных переходных процессов применяют такие интегральные оценки, у которых знакопеременность подынтегральной функции тем или иным способом устранена. Такими оценками являются, например, модульная интегральная оценка

(8.48)

и ее модификации

(8.49)

Оценка (8.49) придает больший вес тем значениям сигнала ошибки, которые имеют место в конце переходного процесса.

Оценки (8.48) и (8.49) можно использовать только при исследовании систем на моделях, так как их вычисление через коэффициенты ПФ (без нахождения ε_п(t)) невозможно.

При анализе и синтезе систем регулирования с колебательными свойствами наиболее широко используется квадратичная интегральная оценка

(8.50)

которая равна площади под кривой ε_п²(t) (рис. 8.9, г).

Квадратичная оценка (8.50) так же, как и линейная, учитывает и величину, и длительность отклонений. Однако из-за возведения сигнала ε_п(t) в квадрат первые (большие) отклонения приобретают в конечном значении интеграла существенно больший вес, чем последующие (малые) отклонения. Поэтому минимальные значения оценки (8.50) всегда получаются у колебательных процессов с малым затуханием.

С целью устранения этого недостатка применяют так называемую улучшенную квадратичную оценку

(8.51)

которая, кроме самих отклонений, учитывает с весовым коэффициентом Т _в² производную отклонений. Обычно весовой коэффициент Т _в выбирают равным желаемому времени нарастания t _н или принимают в пределах

(8.52)

где t _п – желаемая длительность переходного процесса.

Достоинством квадратичных оценок (8.50) и (8.51) является возможность их вычисления без предварительного отыскания переходного процесса – непосредственно по коэффициентам передаточной функции замкнутой системы.

Следует отметить, что абсолютные значения любой интегральной оценки сами по себе не представляют интереса. Они служат лишь для сопоставления различных вариантов настройки одной и той же системы.

Все рассмотренные интегральные показатели используют не только для оценки качества, но и для определения оптимальных значений настроечных параметров системы. Оптимальными считают такие значения, которые соответствуют минимуму интегрального показателя

(8.53)

Предположим, что необходимо найти оптимальные значения каких-либо двух параметров (например, k_i, T_i), входящих в ПФ конкретной системы. Для этого надо показатель Q выразить как функцию параметров k_i, T_i

(8.54)

а затем взять частные производные и приравнять их к нулю

(8.55)

Решая систему (8,55), можно найти искомые оптимальные значения k_{i опт}, T_{i опт}. На рис. 8.10 показана зависимость интегральной оценки Q от одного параметра k_i.

Рис 8.10. Зависимость интегральной оценки от одного параметра СУ

При сложном характере функции (8.54) задачу минимизации решают численными методами.

Контрольные задания и вопросы

1. Какие свойства СУ принято рассматривать при оценке ее качества?

2. По какой динамической характеристике системы регулирования оценивают прямые показатели качества? Какие из них характеризуют колебательность системы, а какие - ее быстродействие?

3. Нарисуйте графики переходных процессов по каналам задания и возмущения, соответствующие перерегулированию σ = 20 %.

4. Какие из частотных показателей характеризуют колебательность системы, а какие - ее быстродействие?

5. Как связано расположение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости с устойчивостью и колебательностью системы?

6. Как связан ближайший действительный корень характеристического уравнения с длительностью переходного процесса?

7. На каком характерном свойстве замкнутой системы регулирования основана ее приближенная замена эквивалентным колебательным звеном? В чем заключается условие эквивалентности колебательного звена и аппроксимируемой замкнутой системы?

8. Назовите два параметра колебательного звена, характеризующих его динамические свойства.

9. Как влияет коэффициент демпфирования ξ колебательной модели на показатели качества σ и t _п?

10. Каким типовым динамическим звеном является разомкнутый контур колебательной модели? Назовите два параметра разомкнутого контура, характеризующих его динамические свойства.

11. Как влияют параметры k и Т ₀₁ разомкнутого контура на динамические свойства замкнутой системы?

12. Какие параметры графика переходного процесса учитываются интегральными оценками?

13. Какой из двух переходных процессов лучше – с большой интегральной оценкой или малой? Почему?

14. Для каких переходных процессов можно применять линейную интегральную оценку?

15. Почему для колебательных переходных процессов приходится применять модульные или квадратичные оценки?