Методика расчета газовых сетей на минимум металловложений

В качестве дополнительных требований экономичности принимается условие минимума суммарных металловложений в газовые сети. Считая, что толщина стенок труб не зависит от диаметра трубы, получаем вместо условия:

(15.9)

заменяющее его условие:

(15.10)

где d_i и - соответственно диаметр и длина i - го участ­ка, суммарное количество которых равно " n ". В целевой функции содержится n неизвестных диаметров участков. Для определения условий, при которых целевая функция многих переменных достигает условного минимума, используем метод Лагранжа. Согласно этому методу следует составить сначала функ­цию Лагранжа многих переменных:

, (15.11)

где — целевая функция;

, и т. д. - вспомогательные уравнения, связующие переменные;

l₁, l₂ и т.д. - неопределенные постоянные коэффициенты Лагранжа.

Условный минимум целевой функции отыскиваем, приравнивая нулю частные производные функции Лагранжа по каждой из переменных:

(15.12)

..........................

Здесь целевая и вспомогательная функции для краткости записаны в виде j _, y₁, y₂, и т.д. Вспомогательные уравнения приводятся к виду, когда в правой их части стоит нуль.

Рассмотрим порядок применения метода Лагранжа для решения задачи расчета газовых сетей на минимум металловложений. Примем для конкретности расчет сетей низкого давления. Тогда основное уравнение гидравлических потерь с учетом того, что скорость w_i равна , а коэффициент сопротивления l по формуле Блазиуса:

(15.13)

превращается в уравнение:

(15.14)

где Re - число Рейнольдса;

D p_i - потери давления в даПа;

V_I - расход в м³/ч;

d_i - диаметр в см;

l_i - длина в м;

r₀ - плотность в кг / м³;

n - коэффициент кинематической вязкости в м² / с.

Объединяя неизменные для данного газа величины 45.67 r ₀ n ^0.25 в единый численный коэффициент “ ” запишем:

. (15.15)

В частном случае, для природного газа плотностью r ₀=0.73 кг / м³, a = 2.06. Для метана a = 2.02.

Для удобства расчета заменяем в целевой функции переменные d_i на переменныеD p_i, фигурирующие во вспомогательных уравнениях Y₁,Y₂ ... и т.д.

Выражая d_i из формулы гидравлических потерь, получаем:

(15.16)

и целевую функции j в виде:

(15.17)

или

(15.18)

Вспомогательными уравнениями являются уравнения равновесия колец:

(15.19)

и уравнения, отражающие технологические требования, согласно которым суммарная потеря давления по любому направлению не должна превышать допустимой величины D p_р:

. (15.20)

Функция Лагранжа в данном случае приобретает вид:

(15.21)

В данном выражении индексы к ₁; к ₂ и т.д. относятся к соответствующим элементарным кольцам 1, 2..., а индексы н ₁, н ₂ и т.д. - к соответствующим независимым направлениям.

Приравниваем нулю частные производные функции Лагранжа, учитывая при этом только те кольца и те направления, в которых фигурирует участок по падению давления. Получаем:

(15.22)

.........................

или

(15.23)

...................,

где суммы постоянных множителей ål _к и ål _н относятся к тем кольцам и тем направлениям, в которые входит соответствующий участок.

Как видно, полученное число новых уравнений равно количест­ву частных производных функции Лагранжа по потерям давления в от­дельных участках, то есть равно количеству отдельных участков ” n ”.

Для упрощения расчета желательно, конечно, освободиться от необходимости определять постоянные множители Лагранжа или их суммы ål _к и ål _н. Можно показать, что эти суммы становят­ся равными нулю, если просуммировать частные производные функции Лагранжа, относящиеся к участкам, примыкающим к любому узлу, и при­писать этим производным те же знаки, что и расходам газа. При таком суммировании мы получаем новые узловые уравнения. В общем случае, это:

, (15.24)

а для рассматриваемого частного случая гидравлически гладких труб в газовых сетях низкого давления (ГНД):

. (15.25)

Здесь символ означает суммирование частных производ­ных по данному узлу. Смысл этих уравнений заключается в следую­щем. Суммарные металловложения во все участки сети будут мини­мальными, если в каждом узле алгебраическая сумма частных произ­водных от металловложений в примыкающие участки по потерям давления в этих участках равна нулю.

Количество новых узловых уравнений, отражающих требования экономичности, равно у -1 (в последнем узле данные по участкам повторяются), то естькак раз тому количеству, которого не хвата­ло для однозначного решения задачи.

Итак, полностью определение 2 n параметров (d _i и D p _i) производится путем совместного решения n уравнений гидравли­ческих потерь, k уравнений равновесия колец и у -1 узловых уравнений экономичности, а всего n + k + y -1 = 2 n уравнений. Совместное решение этих уравнений можно произвести по специаль­ной программе на ЭВМ и определить для каждого участка значения диаметра d _i и падения давления D p _i. При отсутствии возмож­ности машинного расчета возможен и ручной расчет сети при введении некоторых дополнительных упрощений.