Ускорение точки

В общем случае движение точки происходит с переменной по величине и по направлению скоростью. Желая охарактеризовать изменение скорости, вводят меру быстроты этого изменения со временем — ускорение, которое должно учитывать векторное (геометрическое) изменение скорости, т. е. изменение ее по величине и по направлению. Для этого рассмотрим (как и для скорости) два значения скорости в моменты времени , и определим ускорение как

(2.6)

Если радиус – вектор представлен разложением по ортам декартовой системы координат

, тогда

и

.

Модуль ускорения равен

.

Считая координатами точки N – конца вектора , можно рассматривать вектор скорости, согласно (2.5), как скорость конца вектора , а считая - координатами точки М – конца вектора , можно рассматривать вектор ускорения, как скорость конца вектора . Применяя полученные выражения единичных вектором осей натурального триэдра траектории, найдем составляющие вектора ускорения по этим осям. Вспомнив, что вектор ускорения есть производная по времени от вектора скорости, получим

,

но , откуда следует

(2.7)

Равенство (2.7) представляет собой разложение вектора уско­рения по осям натурального триэдра. Обозначив коэффициенты при единичных векторах, и записав проекции ускорения на оси натурального триэдра, соответственно через будем иметь:

причем из (2.7) следует, что

Последнее равенство говорит о том, что вектор ускорения пер­пендикулярен к бинормали, т. е. ускорение лежит в соприкасаю­щейся плоскости. Первое слагаемое в разложении (2.7) - дает касательную (тангенциальную) составляющую ускорения, второе - нормаль­ную составляющую ускорения. Иногда для кратко сти их называют просто касательным и нормальным ускорением. В случае ускоренного движения знаки и одинаковы, в случае замедленного движения - противоположны, т. е. при ускоренном движении касательное ускорение направлено в ту же сторону, что и вектор скорости, а при замедленном движении имеет направление, противоположное скорости (рис. 23).

Итак, вектор ускорения в криволинейном движении может быть представлен как геометрическая сумма двух ускорений: касательного и нормального. Величина ускорения может быть представлена так:

Рассмотрим два частных случая:

а) Случай равномерного движения; величина скорости постоянна, так что , и величина ускорения равна в этом случае

б) Случай прямолинейного движения; кривизна прямой линии равна нулю и, следовательно, , и .

Из сопоставления этих двух случаев следует, что в равномерном прямолинейном движении ускорение равно нулю.

Отметим, что не следует смешивать и так как первое выражение определяет величину полного ускорения, а второе - абсолютное значение лишь одной его касательной составляющей. На различие этих величин указывалось уже выше (формула (2.2)). Разложение ускорения на касательную и нормальную части имеет простое кинематическое значение. Вектор ускорения, определяющий быстроту изменения вектора скорости по величине и направлению, представляется суммой касательного ускорения, характеризующего изменение величины скорости, и нормального, характеризующего изменение ее по направлению.