Кинематика точки

1. Кинематика как раздел ТМ. Основные задачи кинематики.

2. Три способа кинематического задания движения точки.

3. Вычисление скорости и ускорения точки в декартовых осях.

4. Вычисление скорости и ускорения точки в полярных осях.

5. Вычисление скорости и ускорения точки в естественных осях.

Ответы:

1. Кинематика есть раздел курса ТМ, в котором механические движения (Мех.Д) Объектов Природы и Техники, явления и процессы изучаются с геометрических – пространственно-временных позиций безотносительно к причинам их происхождения и изменения. Кинематику по-другому называют хроногеометрией, т. е. геометрией во времени.

Задача: Главной задачей кинематики является математическое (уравнениями, графиками, таблицами и т. п.) определение положения и характеристик движения точек или тел во времени.

2.

А) Векторный способ задания движения точки

Б) Координатный способ

Движение точки считается заданным, если заданы непрерывные функции

(3)

Совокупность зависимостей (3) определяет (задает) закон движения точки.

В) Естественный способ задания движения точки

Касательный к траектории единичный вектор , задающий положительное направление движения точки, называется вектором тангенциали.

Связанная с ним ось – тангенциальной или же тангенциалью.

· Вектор нормали , перпендикулярный , всегда направлен на центр окружности кривизны, касательной к траектории в данной точке.

· Вектор бинормали перпендикулярен к векторам и . Соответствующие им оси носят название нормали и бинормали.

3.

Скорость:

Ускорение:

,

.

4.

Скорость:

v_r = dr/dt = ;

= r(d /dt) = r .

Величины v_r и соответсвенно называются радиальной и трансверсальной скоростями точки. Модуль скорости v = (v_r² + ²) .

Ускорение:

a_r = d²r/dt² - r (d /dt)² = - r ()²;

= r (d² /dt²) + 2 (dr/dt) (d /dt) = r + 2 .

Величины a_r и соответсвенно называются радиальным и трансверсальным ускорениями точки. Модуль ускорения a = (a_r² + ²) .

5.

Скорость:

Таким образом, скорость точки всегда касательна к ее траектории.

Ускорение:

Кинематика движений твёрдого тела:

1. Твёрдое тело как модель. Основные задачи и способ задания движения твердого тела. Число степеней свободы.

2.Теорема Грасгофа о проекциях скоростей двух точек Т.Т на линию их соединяющую.

3. Теорема о независимости угловой скорости Т.Т от выбора полюса.

4. Теорема об абсолютной и относительной производной от вектора.

5. О кинематике движений Т.Т.Их классификация.

6. Поступательное движение т.т. Способ задания.Вычисление скоростей и ускорений.

7. Вращательное движение т.т. Способ задания. Вычисление угловых и линейных скоростей и ускорений (точек).

8. Передаточные механизмы. Кинематика рядовых зацеплений.

Ответы:

1.

1) поступательное движение;

2) вращение вокруг неподвижной оси;

3) плоское, или плоскопараллельное, движение – все точки тела движутся в плоскостях, параллельных базовой плоскости;

4) движение твердого тела вокруг неподвижной точки, или сферическое, движение: все точки движутся по поверхностям сфер, центры которых находятся в неподвижной точке;

5) произвольное движение твердого тела.

2.

3.

Теорема:Угловая скорость абсолютно твердого тела не зависит от выбора полюса.

Углы наклона отрезков к горизонтальной оси различны и связаны между собой соотношением:

Продифференцируем это соотношение:

Отсюда следует, что угловые скорости двух отрезков равны:

4.

Теорема о сложении скоростей – Скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической сумме скоростей полюса и вращательной скорости этой точки вокруг полюса.

Таким образом, скорость точки B равна геометрической сумме скорости полюса A и вращательной скорости точки B вокруг полюса:

5.

1) поступательное движение;

2) вращение вокруг неподвижной оси;

3) плоское, или плоскопараллельное, движение – все точки тела движутся в плоскостях, параллельных базовой плоскости;

4) движение твердого тела вокруг неподвижной точки, или сферическое, движение: все точки движутся по поверхностям сфер, центры которых находятся в неподвижной точке;

5) произвольное движение твердого тела.

6.

Поступательным движением твердого тела называется такое его движение, при котором прямая, проходящая через любые две точки в этом теле, будет оставаться параллельной своему первоначальному положению во все время движения.

Чтобы задать движение и определить кинематические характеристики тела, совершающего поступательное движение, достаточно задать движение одной его любой точки (полюса) и найти ее кинематические характеристики.

Закон такого движения тела задается уравнениями движения полюса:

.

7.

Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу (или неизменно с ним связанные), остаются во все время движения неподвижными.

Скорость: Ускорение:

8.

; , где k – число внешних зацеплений.