Корневі методи оцінки якості перехідних процесів

У зв'язку з тим, що операторне зображення керованої величини визначається передаточною функцією системи та зображенням задаючого впливу, ,то доцільно розглянути зв'язок між нулями та полюсами передаточної функції та перехідною характеристикою.

Хай

Тоді (2.90)

При цьому корені многочлену визначають нулі, а корені – полюси зображення вихідної величини.

Якщо є поодиноким типовим стрибком, то .

Отже, для точного визначення перехідної характеристики треба знати як розташовані нулі та полюси передаточної функції на комплексній площині. В цьому випадку, коли не має нулів, тобто коли чисельник передаточної функції представляє собою сталу величину , яка не залежить від оператору , якість перехідного процесу можна оцінювати за розподіленням коренів характеристичного рівняння замкненої системи.

Відомо, що добуток коренів характеристичного рівняння замкненої системи

має вигляд Тому за міру швидкодії системи можна прийняти середньо геометричне значення модулів коренів . Тому що перехідний процес у загальному вигляді визначається як а для стійких систем , то

.

Таким чином, якщо всі корені характеристичного рівняння розташовані зліва від уявної осі, то кожному кореню буде відповідати своя складова перехідного процесу. Звичайно, найбільш повільно затухає та складова, яка визначається найбільшою постійною часу, тобто коренем, який має найменшу частину. З цього видно, що швидкодія системи залежить від дійсної частини коренів характеристичного рівняння.

Розглянемо розташування коренів на комплексній площині. Область розташування коренів можна визначити у межах:

- мінімальна віддаль коренів від уявної осі;

- максимальна віддаль коренів від уявної осі;

Рис. 2.27 Область розташування коренів

- максимальний кут між лінією, яка проходить через уявну частину кореня та початок координат і дійсну вісь

(2.91)

Дійсна частина кореня, якій відповідає , називається ступенем стійкості.

Якщо корінь, який відповідає буде дійсним, то ступінь стійкості називається аперіодичною, якщо ж комплексний, то коливальною.

Отже, ступінь стійкості характеризує віддалення кореня від уявної осі і фізично визначає степінь або швидкість згасання процесу.

Якщо у характеристичному рівнянні маються комплексно-сполучені корені, то у числі складових перехідного процесу з'являються складові коливального характеру

Найбільший кут , який утворюється парою комплексно-сполучених коренів, визначає степінь коливальності системи

(2.92)

Таким чином, кожній парі коренів відповідає своя складова з періодом коливань .

Хай для деякої системи степінь стійкості є коливальною та визначається коренями

Із аналізу стійкості САУ та дослідження перехідних процесів відомо, що найбільш повільно буде згасати складова, яка визначається коренем, який має найменшу дійсну частину коренів.

Отже, (2.93)

Якщо точність системи визначається деяким значенням , то якщо перехідна характеристика ввійде у цю область, то перехідний процес вважається закінченим.

Таким чином , що дає змогу визначити час перехідного процесу .

Якщо покласти , а , то .

З рівняння (2.93) можна добути час першого максимуму перехідної характеристики. Для цього продиференцюємо вираз за часом

Звідки

Якщо припустити, що характеристичне рівняння замкненої системи має один корінь, який дорівнює степеню стійкості , та зневажити решту коренів, то процес буде найбільш швидкий.

Якщо точність системи визначається деяким значенням , то якщо перехідна характеристика ввійде у цю область, то перехідний процес вважається закінченим .

Крива в цьому випадку називається мінорантою.

Якщо визначити точність системи деяким значенням ,то можна обчислити мінімальний час перехідного процесу.

Якщо всі корені характеристичного рівняння є дійсними кратними та дорівнюють степеню стійкості , то процес буде найбільш тривалим t_max.

При цьому описує криву, яка називається мажорантою, та обмежує перехідний процес зверху (Рис.11.2).

Рис. 2.28

Отже, у всякому іншому випадку крива перехідного процесу буде лежати в межах міноранти та мажоранти, а час перехідного процесу t_min<t_nn<t_max.

Якщо характеристичне рівняння має пару комплексно-сполучених коренів, тобто перехідний процес має коливальний характер, то у системі з'являється перерегулювання, яке залежить від степеню коливальності . В цьому випадку можна обмежити область перерегулювання в межах де – максимальне перерегулювання.