Задача максимизации прибыли при заданных ценах на продукцию и ресурсы. Анализ оптимальных решений с помощью множителей Лагранжа

Пусть производится один продукт ценой P ₀, используются ресурсы с ценами . Требуется решить задачу максимизации прибыли при заданных P ₀ и p:

max (P ₀ f (x) – < p, x >) (1)

x ³ 0 (2)

Исследование задачи будем проводить с помощью функции Лагранжа:

– балансовое соотношение

В оптимальном плане x ^* для любых используемых ресурсов отношение цены к предельной эффективности постоянно. Для этих же ресурсов показали, что соотношение предельных эффективностей равно соотношению цен. Наибольшая отдача будет от тех ресурсов, которые имеют самую большую предельную эффективность в текущей точке.

Эти свойства не имеют универсального значения. Они применимы только тогда, когда эффективность ресурса при увеличении масштаба производства сокращается. При этой ситуации нахождение оптимального плана задачи (1)-(2) можно интерпретировать как процесс выравнивания соотношения цен и предельных эффективностей.

Предельная эффективность – показывает предельный прирост выпуска продукции при увеличении затрат i -го ресурса на малую величину.