По математике

Ответы к заданиям с выбором ответа

№ задания	Ответ	№ задания	Ответ
А1		А6
А2		А7
А3		А8
А4		А9
А5		А10

Ответы к заданиям с кратким ответом

№ задания	Ответ
В1	3,5
В2	– 3
В3
В4
В5
В6
В7	– 10
B8	– 5
B9
В10	4,8
В11

Ответы к заданиям с развернутым ответом

№ задания	Ответ
С1
С2
С3	(– 1; 2]
С4
С5

КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ И ОЦЕНкИ ВЫПОЛНЕНИЯ

ЗАДАНИЙ С РАЗВЁРНУТЫМ ОТВЕТоМ

Внимание!При выставлении баллов за выполнение задания в «Протокол проверки ответов на задания бланка № 2» следует иметь в виду, что если ответ отсутствует (нет никаких записей, свидетельствующих о том, что экзаменуемый приступал к выполнению задания), то в протокол проставляется «Х», а не «0».

~EndLATTest

Найдите значение функции в точке максимума.

C1

Решение:

1. Найдем область определения функции :

.

Упростим формулу, задающую функцию:

.

2. .

, .

при (х = 1 не принадлежит области определения функции ).

- точка максимума и

Ответ: 2.

Баллы	Критерии оценки выполнения задания С1
	Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) найдена область определения и упрощена формула, задающая функцию; 2) найдена точка максимума и значение функции в этой точке. Все преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ.
	Приведена верная последовательность всех шагов решения, но в шаге 2 допущена одна описка и/или вычислительная ошибка, не влияющая на дальнейший ход решения. В результате этой описки или ошибки может быть получен неверный ответ.
	Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1 и 2 балла.

Решите уравнение

C2

Решение:

1)

2) ;

или .

а) , тогда , значит, не являются решениями исходного уравнения.

б) , тогда и .

Ответ: .

Баллы	Критерии оценки выполнения задания С2
	Приведена верная последовательность шагов решения: 1) уравнение сведено к равносильной системе, состоящей из квадратного уравнения относительно и неравенства ; 2) решено уравнение и произведен отбор корней, удовлетворяющих условию [1] Все преобразования и вычисления выполнены верно, получен верный ответ.
	Приведена верная последовательность всех шагов решения, в шаге 2 допущена вычислительная ошибка или описка. В результате этой описки или ошибки может быть получен неверный ответ.
	Все случаи решения, не соответствующие указанным выше критериям выставления оценок в 1 или 2 балла.

C3

Найдите все значения , которые удовлетворяют неравенству < при любом значении параметра , принадлежащем промежутку

Решение:

1) Неравенство приводится к виду , в котором левая часть, рассматриваемая как функция от , есть линейная функция с коэффициентами, зависящими от . В задаче требуется найти все значения , при каждом из которых эта функция отрицательна для всех .

2) Для отрицательности линейной функции на промежутке (1; 2) необходимо, чтобы она была отрицательна или равна нулю при каждом из двух значений и , т.е. выполнялась система ;

.

3) Для выполнения требования задачи функция не должна равняться нулю при обоих значениях и одновременно, т. е. не выполняется система ;

.

4) Выполнения двух полученных условий уже достаточно для отрицательности на данном промежутке. Таким образом, искомые значения — это решения системы

Ответ: .

Баллы	Критерии оценки выполнения задания С3
	Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) задача сведена к требованию отрицательности линейной функции на данном интервале; 2) получено первое необходимое условие на переменную и решена соответствующая система; 3) получено второе необходимое условие на переменную и решена соответствующая система; 4) имеется вывод о том, что выполнение сразу двух указанных необходимых условий уже достаточно. Все преобразования и вычисления верны. Получен верный ответ.
	Приведена верная последовательность шагов 2) — 4) решения, а шаг 1) либо отсутствует, либо логически неверен. Получен верный ответ. Допустима описка, в результате которой возможен неверный ответ.
	Верно выполнен только шаг 2) решения, а остальные шаги или отсутствуют, или сделаны с ошибкой.
	Выполнен только шаг 2) решения, но в нем нестрогие неравенства заменены строгими. Остальные шаги решения или отсутствуют, или сделаны с ошибкой.
	Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1 – 4 балла.

*C4

Дана правильная треугольная пирамида со стороной основания, равной . Центр основания пирамиды является вершиной конуса, окружность основания которого вписана в боковую грань пирамиды. Найдите радиус основания конуса.

Решение:

1) Пусть пирамида FABC – данная правильная пирамида, FO – ее высота, тогда точка O – центр треугольника АВС. Пусть CD – медиана треугольника АВС, тогда и . Треугольник FAB равнобедренный и точка D – середина АВ, значит, FD – медиана, высота и биссектриса треугольника FAB.

Пусть основание конуса вписано в треугольник FAB. Тогда центр основания конуса (точка Р) является точкой пересечения биссектрис треугольника FAB. Следовательно, ОP – высота конуса, РD – радиус основания, а OD – образующая конуса. Тогда .

2) Пусть РТ ^ FA. Тогда РТ=PD как радиусы окружности, вписанной в треугольник FAB. Прямоугольные треугольники FDA и FTP подобны (имеют общий угол при вершине F). Следовательно, или , так как РТ=PD. Отсюда ,
т.е. . Вычислим PD другим способом. Прямоугольные треугольники FOD и OPD подобны, так как имеют общий угол D. Поэтому и . Итак, (1).

3) По условию АВ= . Пусть AF=b и PD = r. Из треугольника FAD получаем , а из треугольника ABC получаем , . Подставим найденные величины в равенство (1): . Отсюда получаем: . Следовательно, и .

Ответ: 1.

Баллы	Критерии оценки выполнения задания С4
	Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) установлено, что центр основания конуса – точка пересечения биссектрис боковой грани пирамиды; 2) получены два соотношения для вычисления радиуса основания конуса; 3) выполнены преобразования и вычисления, необходимые для нахождения радиуса основания конуса. Имеются верные обоснования всех ключевых моментов решения: а) положения центра основания конуса; б) соотношения между отрезками FA, AD, FD и FP, а также между отрезками OD, PD и FD. Все преобразования и вычисления выполнены правильно. Получен верный ответ.
	Приведена верная последовательность всех шагов решения. Явно описано положение центра основания конуса. Верно найдены соотношения между отрезками, необходимые для решения задачи. Допустимо отсутствие обоснований или неточности в обосновании ключевых моментов. Приведенные в решении обоснования не содержат грубых ошибок. Допустима одна описка и/или негрубая ошибка в преобразованиях или вычислениях, не влияющая на правильность хода решения. В результате этого возможен неверный ответ.
	Приведена верная последовательность всех шагов решения. Допустимо отсутствие обоснований или неточности в обоснованиях ключевых моментов решения. Верно найдены соотношения между отрезками, необходимые для решения задачи. Допустимы одна-две негрубые ошибки и/или описки в преобразованиях и/или вычислениях, не влияющие на правильность хода решения. В результате этого возможен неверный ответ.
	Общая идея и способ решения верные, но, возможно, решение не завершено. При этом верно найдено соотношение между отрезками FA, AD, FD и FP. Ключевые моменты решения не обоснованы или имеются неверные обоснования. Допустимы одна-две негрубые ошибки и/или описки в преобразованиях и/или вычислениях, не влияющие на правильность хода решения. В результате этого возможен неверный ответ.
	Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок 1 – 4 баллов.

C5

Найдите количество всех решений системы уравнений

Решение:

1) По условию , а . Тогда второе уравнение системы равносильно следующим уравнениям: ,

, ,

, .

Если , то первое уравнение системы имеет вид . Значит, – решение системы.

2) Если , то , и первое уравнение системы имеет вид . Если , то и , т.е. положительных корней нет. Если , то и

. (*)

3) Рассмотрим функции и .

Функция возрастает ().

Исследуем функцию :

,

т.к. . Значит, эта функция убывает при .

4) Если , то . Если же , то , и .Так как обе функции изменяются непрерывно, то имеется единственный корень уравнения (*), . Поэтому исходная система имеет ровно два решения и .

Ответ: 2.

Баллы	Критерии оценки выполнения задания С5
	Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) преобразование второго уравнения системы к виду ; нахождение решения системы; 2) сведение системы к уравнению относительно ; проверка того, что при оно не имеет корней; 3) сравнение характера монотонности обеих частей уравнения (*); 4) проверка того, что уравнение (*) имеет хотя бы один корень. Обоснованы все моменты решения: а) приведена ОДЗ данной системы уравнений; б) в шаге 1) есть ссылка (словесная или знаком ) на равносильность; в) в шаге 2) есть явная ссылка на положительность при ; г) в шаге 4) указаны значения аргумента, в которых левая часть уравнения (*) больше (меньше) его правой части; д) наличие корня обосновано или эскизами графиков, или же явной словесной ссылкой на непрерывность. Все преобразования и вычисления верны. Получен верный ответ.
	Приведена верная последовательность шагов 1) – 4) решения. Обоснованы ключевые моменты а), б), в). Допустимо отсутствие обоснований ключевых моментов г) и д). Допустима 1 описка и/или негрубая вычислительная ошибка в шаге 4).
	Приведена в целом верная, но, возможно, неполная последовательность шагов решения. Верно выполнены шаги 1) и 2) решения: составлено уравнение (*). Допускается отсутствие одного из шагов 3) или 4) при частичном выполнении другого шага решения. Обоснованы ключевые моменты б) и в). Допустимо, что дальнейшее выполнение не завершено. Допустимы 1 – 2 негрубые ошибки в вычислениях или построениях графиков, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения.
	Общая идея, ход решения верны, но решение, возможно, не завершено. Верно выполнен шаг 1) решения: найдено решение системы. В шаге 2) уравнение относительно составлено, но его исследование не завершено. Обоснован ключевой момент б). Допустимо, что решение не завершено, а обоснования других ключевых моментов отсутствуют. Допустимы негрубые ошибки в вычислениях или преобразованиях.
	Все случаи решения, которые не соответствуют указанным выше критериям выставления оценок в 1, 2, 3, 4 балла.