Задача 4. Определить экстремум следующей целевой функции (вариант 14) [3, стр

Определить экстремум следующей целевой функции (вариант 14) [3, стр. 47]

(36)

при условиях

(37)

Сначала докажем, что функция (36) является строго вогнутой. Для этого необходимо, чтобы в некоторой окрестности точки выполнялись неравенства (38) и (39)

(38)

(39)

За точку X₀ берется решение системы

(40)

Для функции (36) система (40) будет следующей

(41)

Решением системы (41) будет точка . Проверим условие (38).

(42)

Так как неравенство (42) верное, рассчитаем оставшиеся частные производные для составления определителя (39).

(43)

Таким образом, определитель (39) примет вид

(44)

Так как неравенства (42) и (44) оба верные, значит функция (36) строго вогнутая. Раз (36) строго вогнутая, а в системе ограничений (37) только лишь линейные уравнения, следовательно, можно воспользоваться теоремой Куна-Таккера (данная задача относится к роду задач выпуклого программирования). Преобразуем систему ограничений (37) к следующему виду.

(45)

Составим функцию Лагранжа, пользуясь (45) и (36).

(46)

По теореме Куна-Таккера запишем необходимое и достаточное условие седловой точки функции Лагранжа.

(47)

Преобразуем систему (47).

(48)

Сведем систему (48) к системе равенств.

(49)

Если теперь найти базисное решение системы (49) с учетом выполнения равенств (50), то будет получена седловая точка функции Лагранжа.

(50)

Введем псевдоцелевую функцию для системы равенств (49) (метод искусственного базиса), при этом система перепишется.

(51)

(52)

Осталось решить задачу линейного программирования (51)-(52) симплекс-методом. Ограничимся большой сводной таблицей 13 для всех итераций симплекс-метода.

Таблица 13

				0	0	0	0			-M	-M		-M
i	Баз.	Сб	P0	PU1	PU2	PV1	PV2	Px1	Px2	Py1	Py2	Pw1	Py3
	Py1	-M				-1
	Py2	-M		-1			-1
	Pw1								-1
	Py3	-M
				-3	-2			-4	-10
	Py1	-M				-1
	Px2			-0,1	0,1		-0,1				0,1
	Pw1			-0,1	0,1		-0,1				0,1
	Py3	-M		0,1	-0,1		0,1				-0,1
				-4	-1			-4
	Px1		0,75		0,25	-0,25				0,25
	Px2			-0,1	0,1		-0,1				0,1
	Pw1			-4,1	-0,9		-0,1			-1	0,1
	Py3	-M	10,25	-0,9	-0,35	0,25	0,1			-0,25	-0,1
	Px1		12,14		-0,14	0,03	0,11			-0,03	-0,11		1,11
	Px2		-0,14		0,14	-0,03	-0,11			0,03	0,11		-0,11
	Pw1		-40,69		0,69	-0,14	-0,56			0,14	0,56		-4,56
	PU1		-11,39		0,39	-0,28	0,11			0,28	0,11		-1,11
	PV1				-5					-1	-4
	Px2
	Pw1
	PU1				-1						-1

Из последней итерации таблицы 13 выпишем интересующие нас значения.

(53)

Подставляя (53) в (50), получим верные равенства, следовательно

(54)

является седловой точкой функции Лагранжа (46). Тогда оптимальный план исходной задачи

(55)

Подставляя план (55) в целевую функцию (36) и систему (37) получим

(56)

(57)

Решение (55) не противоречит системе ограничений.