ДПФ периодической последовательности

Рассмотрим возможность разложения в ряд Фурье периодической последовательности.

Выполнив замену , получим:

;

;

. (12.7)

Запишем формулу для коэффициентов Фурье — (снят индекс «а»; назначение «тильды» поясним позже), выполним необходимые подстановки:

.

В области дискретного нормированного времени (T = 1):

, (12.8)

где

Вывод: переход привел к тому, что коэффициенты стали

(индекс «p»).

Подставим коэффициенты в правую часть ряда (12.2):

. (12.9)

Полученный ряд —

.

Выводы:

1. Разложение в ряд Фурье периодической последовательности

2. Ряд (12.9) — периодический с периодом

Запишем один период ряда (12.9):

. (12.10)

Определим, чему он соответствует.

С этой целью определим значения непрерывной периодической функции (12.2) в дискретных точках :

.

Заменим вычисление бесконечной суммы вычислением бесконечного числа конечных сумм из слагаемых, сдвинутых друг относительно друга по оси частот на :

.

Изменим порядок суммирования:

. (12.11)

При равенстве правых частей (12.10) и (12.11):

, (12.12)

обеспечивается равенство левых частей, т. е. в (12.10) имеем:

. (12.13)

Совокупность периодических коэффициентов называют спектром периодической последовательности .

Выводы:

1. Спектр периодического дискретного сигнала с периодом —

2. Спектр периодического дискретного сигнала с периодом равен бесконечной сумме копий спектров аналогового периодического сигнала, сдвинутых друг относительно друга по оси частот на .

Дискретным преобразованием Фурье периодической последовательности называют пару формул:

ДПФ ; (12.14)

ОДПФ , (12.15)

где (постоянный множитель принято ставить в обратном преобразовании):

; (12.16)

— N-точечная последовательность (один период);

— N-точечное ДПФ (коротко – ДПФ) (один период).

ДПФ периодическойпоследовательности с периодом — это