Логическое следствие и логический вывод

Выявление того факта, что из множества высказываний (формул исчисления) логически следует некоторое другое высказывание (формула) и является, по существу, одной из основных задач исчисления.

U логически влечет W (W логически следует из U) в исчислении высказываний, что обозначим как U Þ W, если пропозициональная форма (U → W) является тавтологией.

Говорят, что множество формул { F₁, F₂, …, F_n } логически влечет F в исчислении высказываний, что будем записывать как { F₁, F₂, …, F_n }Þ F, если формула { F₁ & F₂ & … & F_n }→ F является тавтологией.

Для обозначения логического следования здесь используется знак Þ. Надо отметить, что в литературе иногда для обозначения логического следова­ния используется знак ╞, а знак Þ используется для обо­значения импликации.

U и W логически эквивалентны, что будем записывать в виде U Û W, если пропозициональная форма (U º W) является тавтологией. Знак Û также используется для указания эквивалентных преобразований формул.

Вместо каждой буквы пропозициональной формы может быть подставлено любое высказывание естественного языка, причем одни и те же буквы должны заменяться одними и теми же высказываниями. Если сделать такую подстановку в тавтологии, то независимо от высказываний естественного языка мы получим логически истин­ное высказывание. Если пропозициональная формула ложна при любой интерпрета­ции (является противоречием), то при такой подстановке будет получаться высказы­вание, являющееся логически ложным.

Истинность или ложность получаемых высказываний не будет зависеть от высказы­ваний-подстановок, т. к. истинность или ложность результирующего высказывания зависит только от логической структуры пропозициональной формы, в которую они подставлялись.

В качестве примера рассмотрим высказывание: если верно, что после снегопада крыша становится белой, то справедливо также и следующее утверждение: если крыша не белая, то снегопада не было.

Обозначим буквой S утверждение «снегопад был», буквой В – «крыша белая». Тогда утверждение о том, что «после снегопада крыша становится белой», запишется в виде формулы S → В. Утверждение «если крыша не белая, то снегопада не было» запишется так: ù В → ù S.

То, что из первого утверждения следует второе (т. е. всегда, когда истинно первое утверждение, истинным является и второе), записывается как логическое следование: (S → В)Þ (ù В → ù S), что эквивалентно тому, что формула (S → В) → (ù В →ù S) является тавтологией.

Докажем, что эта формула тождественно истина (тавтология). Это можно сделать с помощью таблицы истинности или с помощью эквивалентных преобразований (1) – (7):

(S → В) → (ù В →ù S) Û по ф-ле (1)

ù (ù S Ú В) Ú (ù ù В Úù S) Û по ф-ле (5)

(S & ù В) Ú (В Úù S) Û по ф-ле (2)

(S Ú В Ú ù S) & (ù B Ú В Ú ù S) Û по ф-ле (7)

true & true Û

true