Ранг матрицы. Рассмотрим матрицу А размера

Рассмотрим матрицу А размера .

Выделим в ней k строк и k столбцов . Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k -го порядка. Все такие определители называются минорами этой матрицы. В матрице A пунктиром выделен минор 2-го порядка. (заметим, что таких миноров можно составить штук, где – число сочетаний из элементов по ).

Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Обозначается или .

Очевидно, что , где – меньшее из чисел и .

Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров.

Пример 4. Найти ранг матрицы:

.

Решение: Все миноры 3-го порядка равны нулю. Есть минор 20го порядка, отличный от нуля Значит, Базисный минор стоит на пересечении 2 и 3 строки с 1 и 3 столбцами.

Отметим свойства ранга матрицы:

1. При транспонировании матрицы её ранг не меняется.

2. Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.

3. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

Ранг канонической матрицы равен числу единиц на главной диагонали. На этом основан один из способов вычисления ранга матрицы.

Пример 5. Найти ранг матрицы

.

Решение:

,

т. е.

.

Таким образом, ранг матрицы А равен