Обратная матрица. 2. Гімнастика. За ред. І. А. Бражника. К.: «Радянська школа», 1962, с

1. Гимнастика. Под ред. А. Т. Брыкина. М., «Физкультура и спорт», 1971, с. 18–35.

2. Гімнастика. За ред. І. А. Бражника. К.: «Радянська школа», 1962, с. 13–24.

3. Теория и методика гимнастики. Под ред. В. И. Филипповича. М., «Просвещение», 1971, с. 36—67.

4. Б. А. Кузнецов. Гимнастика в СССР. Справочник по спортивной, художественной гимнастике и акробатике. М., «Физкультура и спорт», 1955.

5. Энциклопедический словарь по физической культуре, т. І. М., «Физкуль­тура и спорт», 1961., с. 202.

6. Олимпийские игры. Маленькая энциклопедия. М., «Советская энциклопедия», 1970, с. 72.

7. В. Столбов, Г. Чудинов. История физической культуры. М., «Физкультура и спорт», 1970, с. 24–34, 36–46, 48–58, 114.

8. История физической культуры. Под ред. Ф. И. Самоукова. М., «Физкуль­тура и спорт», 1964, с. 26–34, 50–63, 71–88, 103–105, 112–115, 217–222.

Основные понятия

Пусть А – квадратная матрица n- го порядка

Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель не равен нулю: . В противном случае матрица А называется вырожденной.

Матрицей, союзной к матрице А, называется матрица

где – алгебраическое дополнение элемента данной матрицы А (оно определяется так же, как и алгебраическое дополнение элемента определителя).

Матрица называется обратной матрице , если выполняется условие

(1)

где – единичная матрица того же порядка, что и матрица . Матрица имеет те же размеры, что и матрица .

Обратная матрица

Теорема 1. Всякая невырожденная матрица имеет обратную.

Проведем доказательство для случая матрицы 3-го порядка. Пусть

, причем

Составим союзную матрицу

и найдем произведение матриц и :

т. е.

. (2)

Здесь мы использовали свойства определителей, рассмотренные ранее.

Аналогично убеждаемся, что

. (3)

Равенства (2) и (3) перепишем в виде

и .

Сравнивая полученные результаты с определением (1), получаем

т. е. .

Отметим свойства обратной матрицы:

Пример 1. Найти , если

Решение:

1) Находим

2) Находим поэтому .

3) Находим .

Проверка:

Пример 2. Определить, при каких значениях существует матрица, обратная данной:

.

Решение: Всякая невырожденная матрица имеет обратную. Найдем определитель матрицы А:

Если , т. е. , т. е. матрица А невырожденная, имеет обратную.

Пример 3. Показать, что матрица А является обратной для В, если

, .

Решение: Найдем произведение матриц А и В:

Аналогично, Следовательно, матрица А является обратной для В.