Пример 3. Доверительный интервал для математического ожидания

Пусть задана выборка некоторой случайной величины , арактеристики которой (дисперсия D и математическое ожидание M) неизвестны. Эти параметры оценим так:

- несмещенная оценка дисперсии.

Величину называют оценкой среднего квадратического отклонения. Воспользуемся тем, что величина представляет собой сумму независимых случайных величин, и, согласно центральной предельной теореме, при достаточно большом ее закон близок к нормальному. Поэтому будем считать, что величина распределена по нормальному закону. Характеристики этого закона - математическое ожидание и дисперсия - равны соответственно M (настоящее МО случайной величины ) и .

Найдем такую величину , для которой . Перепишем это в эквивалентном виде и скажем, что случайная величина перед знаком неравенства есть модуль от стандартной нормальной. Получаем, что , и . В случае неизвестной дисперсии ее можно заменить на оценку .

Например, выбирая , получаем коэффициент

Окончательно: с вероятностью можно сказать, что

23. Точность и надежность оценки, доверительный интервал.