Правило Лопиталя

Правило Лопиталя используется для раскрытия неопределенностей вида и , которые называются основными, и основано на применении производных.

Теорема (правило Лопиталя о раскрытии неопределенностей вида и ). Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен конечному или бесконечному пределу отношения их производных, если последний существует. То есть, если имеется неопределенность вида или , то .

Доказательство рассмотрим для случая, когда функции f (х) и φ(х) дифференцируемы в окрестности точки х ₀, обращаются в нуль в этой точке и существует предел отношения при х → х ₀.

Применим к функциям f (x) и φ(x) теорему Коши для отрезка [ х ₀, х ], лежащего в окрестности точки х ₀. Тогда , где с є(х ₀, х). Учитывая, что f (х ₀) = φ(х ₀) = 0, получаем .

При х → х ₀ величина с также с → х ₀. Тогда перейдем в последнем равенстве к пределу: . Так как , то . Поэтому . Теорема доказана.

Замечание 1. Теорема 1 верна и в случае, когда функции f (x) и φ(x) неопределены при х = х ₀, но и .

Достаточно положить и .

Замечание 2. Теорема 1 верна в случае, когда х → ∞.

Полагая , получим

.

Замечание 3. Если производные f' (x) и φ'(x) удовлетворяют тем же условиям, что и функции f (x) и φ(x), теорему 1 можно применить еще раз:

и т.д.

Пример. .