Теорема Коши

Теорема (Коши) (об отношении конечных приращений двух функций). Если функции f (x) и φ(x) непрерывны на отрезке [ a, b ], дифференцируемы на интервале (a, b), причем φ'(x) ≠ 0 для всех х є (a, b), то найдется хотя бы одна точка с є (a, b) такая, что выполняется равенство

Доказательство. Отметим, что φ(b) – φ(a) ≠ 0, так как в противном случае по теореме Ролля нашлась бы точка с такая, что φ'(с) = 0, чего не может быть по условию теоремы Коши.

Рассмотрим вспомогательную функцию

Она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: непрерывна на отрезке [ a, b ] и дифференцируема на интервале (a, b), так как является линейной комбинацией функций f (x) и φ(x); на концах отрезка F (x) принимает одинаковые значения F (a) = F (b) = 0.

На основании теоремы Ролля найдется точка х = с є (a, b) такая, что F' (с)=0. Но Тогда

Отсюда следует и . Теорема доказана.