![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть число уравнений системы (2.1) равно числу переменных, т.е. т = п. Тогда матрица системы является квадратной, а ее определитель называется определителем системы.
Рассмотрим решение системы двух уравнений с двумя переменными:
(2.4)
в которой хотя бы один из коэффициентов при переменных отличен от нуля.
Для решения этой системы исключим переменную , умножив первое уравнение на
, второе — на
и сложив их. Затем исключим переменную х1, умножив первое уравнение на
второе — на
и также сложив их. В результате получим систему:
(2.5)
Выражение в скобках есть определитель системы
Обозначив
система (2.5) примет вид:
(2.6)
Из полученной системы следует, что если определитель системы , то система (2.4) имеет единственное решение, определяемое по формулам:
Если а
, то система (2.4) несовместная, так как в этом случае приводится к виду:
Если то система (2.4) неопределенная и имеет бесконечное множество решений, так как в этом случае приводится к виду:
Для получения решения системы (2.1) при m= n общем виде предположим, что квадратная матрица системы невырожденная, т.е. ее определитель
В этом случае существует обратная матрица
Умножая слева обе части матричного равенства (2.3) на матрицу получим
Так как
, то решением системы методом обратной матрицы будет матрица-столбец
(2.7)
Теорема Крамера. Пусть - определитель матрицы системы А,
— определитель матрицы, получаемой из матрицы А заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если
то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:
(2.8)
Формулы (2.8) получили название формул Крамера.
В соответствии с (1.14) обратная матрица
где
— матрица, присоединенная к матрице А. Так как элементы матрицы
есть алгебраические дополнения элементов матрицы
транспонированной к А, то запишем равенство (2.7) в развернутой форме:
Учитывая, что получим после умножения матриц
откуда следует, что для любого
На основании свойства 9 определителей (см. § 1.4)
— определитель матрицы, полученной из матрицы А заменой j-го столбца
столбцом свободных членов. Следовательно,
Заметим, что фактически формулы Крамера были получены нами в частном случае при решении системы (2.4) п - 2 уравнений с двумя переменными.
► Пример 2.1. Решить систему уравнений
а) методом обратной матрицы; б) по формулам Крамера. Р е ш е н и е. а) Обозначим
Тогда в матричной форме данная система имеет вид: АХ = В. Найдем определитель (см. пример 1.10). Так как
то матрица А — невырожденная, и существует обратная матрица Матрицу
находим по алгоритму, приведенному в § 1.5. Получим (см. пример 1.10):
. Теперь по формуле (2.7)
т.е. решение системы (4; 2; 1).
б) Найдем определитель системы (см. п. а). Так
как то по теореме Крамера система имеет единственное
решение.
Вычислим определители матриц , полученных из
Матрицы А заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов:
(рекомендуем читателю вычислить самостоятельно).
Теперь по формулам Крамера (2.8)
т.е. решение системы (4; 2; 1).
В конце решения системы (любым способом) рекомендуем сделать проверку, подставив найденные значения в уравнения системы, и убедиться в том, что они обращаются в верные равенства.
Существенным недостатком решения систем л линейных уравнений с я переменными по формулам Крамера и методом обратной матрицы является их большая трудоемкость, связанная с вычислением определителей и нахождением обратной матрицы. Поэтому эти методы представляют скорее теоретический интерес и на практике не могут быть использованы для решения реальных экономических задач, сводящихся часто к системам с большим числом уравнений и переменных.
Дата публикования: 2014-12-08; Прочитано: 239 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!