и формулы Крамера

Пусть число уравнений системы (2.1) равно числу перемен­ных, т.е. т = п. Тогда матрица системы является квадратной, а ее определитель называется определителем системы.

Рассмотрим решение системы двух уравнений с двумя пере­менными:

(2.4)

в которой хотя бы один из коэффициентов при переменных от­личен от нуля.

Для решения этой системы исключим переменную , ум­ножив первое уравнение на , второе — на и сложив их. Затем исключим переменную х₁, умножив первое уравнение на второе — на и также сложив их. В результате по­лучим систему:

(2.5)

Выражение в скобках есть определитель системы

Обозначив

система (2.5) примет вид:

(2.6)

Из полученной системы следует, что если определитель сис­темы , то система (2.4) имеет единственное решение, опре­деляемое по формулам:

Если а , то система (2.4) несовместная, так как в этом случае приводится к виду:

Если то система (2.4) неопределенная и имеет бесконечное множество решений, так как в этом случае при­водится к виду:

Для получения решения системы (2.1) при m= n общем ви­де предположим, что квадратная матрица системы невы­рожденная, т.е. ее определитель В этом случае существу­ет обратная матрица

Умножая слева обе части матричного равенства (2.3) на мат­рицу получим Так как , то решением системы методом обратной матрицы будет матрица-столбец

(2.7)

Теорема Крамера. Пусть - определитель матрицы системы А, — определитель матрицы, получаемой из матрицы А заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

(2.8)

Формулы (2.8) получили название формул Крамера.

В соответствии с (1.14) обратная матрица где

— матрица, присоединенная к матрице А. Так как элементы матрицы есть алгебраические дополнения элементов матри­цы транспонированной к А, то запишем равенство (2.7) в развернутой форме:

Учитывая, что получим после умножения матриц

откуда следует, что для любого

На основании свойства 9 определителей (см. § 1.4) — определитель матрицы, полу­ченной из матрицы А заменой j-го столбца столб­цом свободных членов. Следовательно,

Заметим, что фактически формулы Крамера были получены нами в частном случае при решении системы (2.4) п - 2 урав­нений с двумя переменными.

► Пример 2.1. Решить систему уравнений

а) методом обратной матрицы; б) по формулам Крамера. Р е ш е н и е. а) Обозначим

Тогда в матричной форме данная система имеет вид: АХ = В. Найдем определитель (см. пример 1.10). Так как

то матрица А — невырожденная, и существует обратная матри­ца Матрицу находим по алгоритму, приведенному в § 1.5. Получим (см. пример 1.10):

. Теперь по формуле (2.7)

т.е. решение системы (4; 2; 1).

б) Найдем определитель системы (см. п. а). Так

как то по теореме Крамера система имеет единственное

решение.

Вычислим определители матриц , полученных из

Матрицы А заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов:

(рекомендуем читателю вычислить самостоятельно).

Теперь по формулам Крамера (2.8)

т.е. решение системы (4; 2; 1).

В конце решения системы (любым способом) рекомендуем сделать проверку, подставив найденные значения в уравнения системы, и убедиться в том, что они обращаются в верные ра­венства.

Существенным недостатком решения систем л линейных уравнений с я переменными по формулам Крамера и методом обратной матрицы является их большая трудоемкость, связанная с вычислением определителей и нахождением обратной матри­цы. Поэтому эти методы представляют скорее теоретический интерес и на практике не могут быть использованы для решения реальных экономических задач, сводящихся часто к системам с большим числом уравнений и переменных.