Системы линейных уравнений

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

К системам линейных уравнений приводит множество при­кладных, в том числе и экономических задач.

Основные понятия и определения

Система т линейных уравнений с п переменными имеет вид¹:

где — произвольные числа,

называемые соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений.

В более краткой записи с помощью знаков суммирования систему можно записать в виде:

Решением системы (2.1) называется такая совокупность n чи­сел , при подстановке которых каж­дое уравнение системы обращается в верное равенство.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной,.если она не имеет ре­шений.

Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. Например, система уравнений

¹ В линейной алгебре обычно обозначают переменные одной буквой с соответствующими индексами, т.е.вместо принятых в школе обозначений, т.е.

которые в данном случае не очень удобны.

— совместная и определенная, так как имеет единственное решение (10; 0); система — несовместная; а система уравнений — совместная и

неопределенная, так как имеет более одного, а точнее бесконеч­ное множество решений где с — любое число.

Две системы уравнений называются равносильными, или экви­валентными, если они имеют одно и то же множество решений. С помощью элементарных преобразований системы уравнений, рассмотренных в гл. 1 применительно к матрицам (например, умножение обеих частей уравнений на числа, не равные нулю; сложение уравнений системы), получается система (2.1), равно­сильная данной.

Запишем систему (2.1) в матричной форме. Обозначим:

где А — матрица коэффициентов при переменных, или матрица системы, X — матрица-столбец переменных; В — матрица-столбец свободных членов.

Так как число столбцов матрицы равно числу строк

матрицы то их произведение

есть матрица-столбец. Элементами полученной матрицы явля­ются левые части системы (2.1). На основании определения ра­венства матриц систему (2.1) можно записать в виде:

АХ = В. (23)