Сглаживание фактических кривых

Получаемые при помощи корреляционных таблиц кривые зависи­мости представляют собой, как правило, ломаные линии. Излом фактических кривых является следствием влияния некоторых факто­ров, не учитываемых прн исследовании, на изучаемую зависимость. Поведение ломаных кривых указывает лишь на общий характер зависимости между изучаемыми переменными.

Для интерполяции и особенно экстраполяции кривых необходимо их «сгладить», т. е. подыскать к данной фактической ломаной кривой наиболее близкую теоретическую кривую. Вопрос о форме теорети­ческой кривой, наиболее подходящей к данной фактической, статисти­ческими методами, однако, не решается.

Практически форму связи между переменными в первом приближе­нии можно устанавливать путем наложения полученных средних точек на графики с различными координатными осями (х, у; х, lgy; у, lgx; lgx, lgy), принимая за форму связи между переменными х и у ту связь, которая получается в случае, когда на графике точил ло­жатся более или менее точно на прямую линию.

Если фактические средние точки в одном из графиков (например, с осями lg х, ]g у) ложатся на прямую линию, мы вправе предположить, что между исследуемыми переменными существует гиперболическая связь. Определив таким образом форму связи между переменными, можно найти указанными ниже способами теоретическую формулу зависимости между ними.

Не всегда, однако, наложение фактических точек в графиках с различными координатными осями дает ответ на вопрос о форме связи между исследуемыми переменными. Часто ни в одном из гра­фиков фактические точки не ложатся на прямую. В этом случае при отсутствии каких-либо иных указаний о связи между изучаемыми переменными приходится отказаться от применения теоретической формулы и ограничиться сглаживанием фактической кривой по так Называемому методу скользящей средней.

Сглаживание фактических кривых по методу скользящей средней исключает возможность пользования сглаженной кривой с целью экстраполяции, так как в данном случае не известна закономерность изучаемых переменных за пределами крайних точек фактической кривой.

Сглаживание при помощи скользящей средней производится пу­тем вычисления средней ординаты (или абсциссы) из 3, 5, 7 последовательных значений ординат (абсцисс) фактической кривой с отне­сением этой средней ординаты (абсциссы) к среднему значению абс­циссы (ординаты).

Сглаживание фактических кривых при помощи теоретических формул основывается на применении способа наименьших квадратов. Согласно этому способу наиболее подходящей теоретической кривой к данной фактической будет та, которая удовлетворяет следующему условию: сумма квадратов отклонений всех ординат фактической кри­вой от наиболее подходящей теоретической кривой составляет вели­чину минимальную.

После того как указанным ранее способом выявлена форма связи между переменными, задача установления статистической зависи­мости между ними сводится к определению параметров уравнения, выражающих эту связь.

С указанной целью на основании метода наименьших квадратов составляется пара нормальных уравнений, решение которых позво­ляет определить искомые параметры уравнения наиболее подходящей кривой.

Сглаживание по формуле прямой. В этом случае при установлении формы связи графическим методом точки фактической кривой в системе прямоугольных координат (х, у) рас­полагаются почти по прямой линии, не проходящей через начало коор­динат. Указанное обстоятельство позволяет предполагать наличие прямолинейной связи между исследуемыми переменными.

Таким образом, сглаживание фактической кривой может быть произведено по уравнению прямой

у = а + bх.

Для вычисления параметров а и b способом наименьших квадра­тов составляем пару нормальных уравнений следующим эмпириче­ским способом:

1)выписываем выражения, на которые множатся параметры урав­нения, в данном случае имеем единицу и х;

2)умножаем последовательно на эти выражения уравнение пря­мой и приписываем к каждому слагаемому полученных уравнений знак , вынося за этот знак искомые параметры а и b; при этом сла­гаемые =an, где n соответствует числу ординат сглаживаемой фактической кривой.

Итак, имеем пару нормальных уравнений:

,

Таким образом, мы рассмотрели случаи сглаживания фактиче­ских кривых, когда изменения переменных подчиняются закону прямой линии, показательной кривой и параболы (или гиперболы).

Во всех приведенных выше примерах определения наиболее под­ходящих теоретических кривых предполагалось, что ординаты факти­ческих кривых равноценны, т. е. вычислены по одному и тому же числу фактических данных.

Анализ корреляционных таблиц, на основании которых строятся фактические кривые зависимости, показывает, что количество дан­ных, на основании которых вычисляется та или иная последующая ордината фактической кривой, может быть весьма различным.

Поэтому при определении параметров уравнений теоретических наиболее подходящих кривых следует учитывать вес отдельных факти­ческих ординат. Учет веса ординат фактической кривой вызывает некоторую трансформацию таблиц исходных данных и пары нормаль­ных уравнений.

В этом случае пара нормальных уравнений примет следующий вид:

.