Нелинейное программирование

Математическая модель задачи нелинейного программирования в общем виде формулируется следующим образом: найти вектор x = (х1, x2, …, xn), удовлетворяющий системе ограничений

и доставляющий экстремум (наибольшее или наименьшее значение) целевой функции

где xj — переменные, j = n,1; L, f, gi — заданные функции от n переменных, bi — фиксированные значения.

Нелинейное программирование применяется при прогнозировании промышленного производства, управлении товарными ресурсами, планировании обслуживания и ремонта оборудования и т.д.

Для задачи нелинейного программирования в отличие от линейных задач нет единого метода решения. В зависимости от вида целевой функции и системы ограничений разработаны специальные методы решения, к которым относятся методы множителей Лагранжа, квадратичное и выпуклое программирование, градиентные методы, приближенные методы решения, графический метод.

Из нелинейного программирования наиболее разработаны задачи, в которых система ограничений линейная, а целевая функция нелинейная. Однако даже для таких задач оптимальное решение может быть найдено для определенного класса целевых функций. Например, когда целевая функция сепарабельная, т.е. является суммой п функций fj(xj), или квадратичная. При этом следует отметить, что в отличие от задач линейного программирования, где точками экстремума являются вершины многогранника решений, в задачах с нелинейной целевой функцией точки могут находиться внутри многогранника, на его ребре или в вершине.

При решении задач нелинейного программирования для целевой функции необходимо определить глобальный максимум или глобальный минимум. Глобальный максимум (минимум) функции — это ее наибольшее (наименьшее)

значение из локальных максимумов (минимумов). Наличие локальных экстремумов затрудняет решение задач, так как большинство существующих методов нелинейного программирования не позволяет установить, является найденный экстремум локальным или глобальным. Поэтому имеется возможность в качестве оптимального решения принять локальный экстремум, который может существенно отличаться от глобального.

Численные методы решения задач нелинейного программирования (поиск экстремума функции одной переменной)

Напомним, что задача математического программирования формулируется следующим образом: найти значения переменных , доставляющие максимум или минимум целевой функции при условиях .

Особенность задач нелинейного программирования заключается в том, что функции и (или) не линейны. Разработано множество численных методов решения задач нелинейного программирования.