Касательная; геометрический смысл производной и дифференциала

Касательная; геометрический смысл производной и дифференциала.

Определение. Касательной к графику функции в точке называется предельное положение секущей, проведенной через точки и при .

Все описанные секущие проходят через одну точку, а при их угловые коэффициенты (тангенсы углов наклона их к оси ) стремятся к определенному числу – угловому коэффициенту касательной.

Пусть , тогда угловой коэффициент секущей равен , а его предельное значение при (если оно существует) совпадет с производной функции в точке :

.

Уравнение касательной в таком случае выглядит следующим образом:

.

Следовательно, геометрический смысл производной – это тангенс угла наклона к оси касательной, проведенной к графику функции в точке .

Обратимся к геометрическому истолкованию понятия дифференциала. Итак,

.

Нетрудно заметить, что это – приращение ординаты касательной, соответствующее приращению абсциссы .

Учитывая тот факт, что дифференциал является линейно функцией от приращения независимой переменной, и что разность между приращением функции и дифференциалом есть бесконечно малая величина по сравнению с , мы можем сделать вывод, что дифференциал – главная, линейная часть приращения функции.