Упражнения. 1. Существуют ли такие множества A,B,C, что

1. Существуют ли такие множества A,B,C, что

2. Справедливы ли следующие утверждения для любых A,B,C?

А) Если A¹B и B¹ C, то A¹С.

B) Если , то С =Æ.

3. Решите системы уравнений (A,B,C – данные множества, X – неизвестное):

.

Указание. Выясните вначале, как связаны между собой множества A,B,C.

4. Для следующих пар множеств U, V найдите необходимые и достаточные условия для множеств A,B,C, при которых UÌ V, VÌ U, U= V.

A)

B)

C)

D)

E)

F)

G)

H)

I)

Указание. На двух изображениях множеств A,B,C в общем положении отметьте на одном множество U, на другом множество V, Затем найдите множество, которое является частью U и не пересекается с V, и опишите его. Аналогично с множеством V.

5. Булеан конечного множества A разбивается на две части: в одну входят подмножества с четным числом элементов, в другую – с нечетным. Докажите, что в каждой части число элементов равно .

6. Изобразите на координатной плоскости множества [1,2]´[3,4],{1,2}´[3,4], {1,2}´{3,4}.

7. Справедливы ли равенства

,

?

8. Бинарному отношению на множестве вещественных чисел соответствует подмножество плоскости (определяющее множество). Какими свойствами обладает определяющее множество для рефлексивных, антирефлексивных, симметричных, антисимметричных, транзитивных отношений?

9. Постройте на множестве {1,2,3} бинарное отношение, которое является

А) рефлексивным, симметричным, не транзитивным;

B) не рефлексивным, симметричным, транзитивным;

С) рефлексивным, не симметричным, транзитивным;

D) не рефлексивным, антисимметричным, транзитивным;

Е) антирефлексивным, антисимметричным, транзитивным.

10. Установите, какими из описанных свойств (определение 4) обладают бинарные отношения на множестве {1,2,3}:

А) {(1,2),(2,1),(2,3)},

B) {(1,1),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)},

C) {(1,2),(2,3),(1,3)}.

11. Проверьте, что следующие бинарные отношения являются отношениями эквивалентности и опишите классы эквивалентности.

А) На множестве натуральных чисел: остатки от деления чисел на 5 равны.

В) На множестве натуральных чисел: неполные частные от деления чисел на 5 равны.

С) На множестве пар вещественных чисел: ((a,b),(c,d))Î G, если a+d=b+c.

D) На множестве вещественных чисел, определяющее множество которого состоит из всей плоскости за исключением осей координат, но включает точку (0,0).

12. Сформулируйте и докажите теорему, обратную к теореме 3.

13. Установите, являются ли следующие бинарные отношения отношениями порядка.

А) На множестве натуральных чисел: остаток от деления на 5 числа a меньше остатка от деления на 5 числа b.

B) На множестве натуральных чисел: неполное частное от деления на 5 числа a меньше неполного частного от деления на 5 числа b.

С) На множестве положительных вещественных чисел c определяющим множеством {(a,b): b<a/ 2}.

D) На множестве положительных вещественных чисел c определяющим множеством {(a,b): b< 2 a }.

14. Пусть отображения f,g: R® R имеют вид

Найдите отображения .

15. Для отображения g из предыдущего упражнения найдите множества

16. Докажите, что . Здесь f: - отображение, .

17. Пусть f: , A ₁Ì A, B ₁Ì B. Всегда ли справедливы равенства
f ^-1(f (A ₁))= A ₁, f (f ^-1 (B ₁))= B ₁?

18. Пусть f: , A ₁, A ₂Ì A, B ₁, B ₂Ì B. Всегда ли справедливы равенства f (A ₁È A ₂)= f (A ₁)È f (A ₂), f (A ₁Ç A ₂)= f (A ₁)Ç f (A ₂),
f ^-1(B ₁È B ₂)= f ^-1 (B ₁)È f ^-1(B ₂), f ^-1(B ₁Ç B ₂)= f ^-1 (B ₁)Ç f ^-1(B ₂)?

19. Пусть отображение таково, что - тождественное отображение. Докажите, что - взаимно однозначное соответствие.

20. Пусть | A |= n, | B |= m. Сколько всего существует отображений Сколько существует отображений , которые

А) обладают свойством при m =2,3;

В) таковы, что из условия f (a ₁)= f (a ₂) следует, что a ₁= a ₂;

С) являются взаимно однозначными соответствиями?

21. Постройте взаимно однозначное соответствие между множествами

А) N и N\ {1},

В) [0,1) и [0,¥),

С) [0,1) и (10,20],

D) [0,1) и [0,1],

E) множеством всех последовательностей натуральных чисел и множеством всех возрастающих последовательностей натуральных чисел,

F) множеством всех конечных подмножеств множества N и множеством N,

G) множеством точек единичного квадрата и множеством чисел [0,1].

22. Докажите, что следующие множества являются счетными.

А) Множество точек на плоскости, обе координаты которых - рациональные числа.

В) Бесконечное множество непересекающихся кругов на плоскости.

С) Множество всех конечных подмножеств множества N.

D) Множество всех целых чисел.

Е) Множество всех многочленов с целыми коэффициентами.