Некоторые свойства бесконечных множеств

Уже отмечалось, что конечное множество не равномощно своей части, в то же время, бесконечное множество может быть равномощным своей части. Оказывается, это характеристическое свойство бесконечных множеств.

Теорема 12. Всякое бесконечное множество равномощно некоторой своей части.

Доказательство. Пусть A – бесконечное множество. По теореме 9, существует счетное множество . Не исключается случай равенства этих множеств! Построим следующее отображение:

f (x) = x при x Ï , f (a_i) = a_{i +1} (i =1,2,…).

Очевидно, что f – взаимно однозначное соответствие между A и A \{ a ₁}, что и требовалось.

Теорема 8 утверждает, что множество [0,1] «массивнее» множества N. Между этими двумя множествами существует тесная связь.

Теорема 13. | [0,1]|=

Для доказательства надо установить взаимно однозначное соответствие между булеаном множества N и отрезком [0,1]. Нам потребуется запись чисел из отрезка [0,1] в двоичной системе счисления, т.е. в виде , где =0 или 1 при n= 1,2,… (вам известно, как число представить в таком виде). Пусть A Ì N. Сопоставим ему число в двоичной записи, где тогда и только тогда, когда n Î A. По числу множество A восстанавливается однозначно, т.е. установлено взаимно однозначное соответствие между множеством записей вида и множеством (В этом рассуждении есть пробел, найдите его! Его нетрудно заполнить, но мы этого делать не будем).

Мощность точек отрезка [0,1] называется мощностью континуума.

Отмечалось, что счетные множества это самые «маленькие» бесконечности. Естественным является вопрос: существует ли «самая большая» бесконечность или дорога вверх не имеет конца? Оказывается, справедливо второе: для каждого множества найдется более «мощное», а именно:

Теорема 14. (Вторая теорема Кантора) для всякого множества A.

Отметим, что в частных случаях этот факт вам уже известен: для конечных множеств это теорема 1, для счетных – теорема 13.

Доказательство в некотором смысле аналогично диагональному методу Кантора.

Вначале проверим, что (легкая часть). Рассмотрим подмножество , состоящее из одноэлементных множеств. = , поскольку отображение , имеющее вид , является взаимно однозначным соответствием. Итак, в есть подмножество, равномощное A, что и требовалось.

Докажем теперь, что (трудная часть). Доказательство будем проводить от противного. Пусть напротив . Это значит, что существует взаимно однозначное отображение . Важно, что любое подмножество является образом некоторого элемента множества ! Для каждого элемента a Î выполняется одно из двух свойств: либо a Î f (a), либо a Ï f (a), причем существуют элементы каждого из двух видов: если f (u)= A (по предположению такой элемент существует), то u – элемент первого вида, если f (v)=Æ (по предположению такой элемент также существует), то v – элемент второго вида. Рассмотрим множество, состоящее из элементов второго вида: . По предположению, существует элемент b Î A, для которого Если наше предположение о равномощности справедливо, то либо b Î V, либо b Ï V.

Пусть b Î V. По определению V это означает, что – противоречие! Пусть теперь b Ï V. Поскольку в V входят ВСЕ элементы A, для которых , то b этим свойством не обладает и потому b Î V. И здесь противоречие!

Мощность множества иногда называют мощностью гиперконтинуума.

Вопросы для самопроверки

1. Что такое объединение, пересечение, дополнение, симметрическая разность множеств?

2. Какими алгебраическими свойствами обладают операции над множествами?

3. Что такое булеан множества?

4. Сколько элементов в булеане конечного множества?

5. Что такое прямое произведение множеств?

6. Чем отличаются множество и вектор?

7. Что такое отношение на множестве?

8. Какими свойствами могут обладать бинарные отношения?

9. Какими свойствами характеризуются отношения эквивалентности и порядка?

10. Что такое классы эквивалентности?

11. Как определяются отображение, суперпозиция отображений?

12. Что такое образ и прообраз множества при отображении?

13. Что такое обратное отображение?

14. Какими алгебраическими свойствами обладают операции суперпозиции и обратного отображения?

15. Какое отображение называется взаимно однозначным соответствием?

16. Как связаны понятия «обратимое отображение» и «взаимно однозначное соответствие»?

17. Какие множества называются равномощными?

18. В каком случае конечные множества являются равномощными?

19. Как устанавливается отношение порядка между мощностями множеств?

20. Являются ли любые бесконечные множества равномощными? Так ли это для множеств натуральных и вещественных чисел?

21. Какие множества называются счетными и какими свойствами они обладают?

22. Какому множеству равномощен булеан счетного множества?

23. Существует ли множество максимальной мощности?