Определение производной функции

Определение производной функции.

Приращение – это величина, на которую увеличивается переменная величина.

Пусть на некотором промежутке X определена функция y = f (x).

Проделаем следующие действия:

возьмем любую точку х ₀Î Х и зададим аргументу х в точке х ₀ произвольное приращение D х такое, что точка х ₀+D х также принадлежит X или х = х ₀+D х;

функция получит приращение D у = f (х ₀+D х)- f (x ₀) или D у = f (х)- f (x ₀);

составим отношение приращения функции к приращению аргумента;

найдём предел этого отношения при D х ®0;

Определение 1: Производной функции у = f (x) в точке х ₀ называется предел при D х ®0 отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента (при условии, что этот предел существует):

Определение 2: Функция y = f (x) называется дифференцируемой в точке х ₀, если её приращение D y в этой точке можно представить в виде D y = А D х + a (D х)D х,

где А - некоторое число, не зависящее от D х, а a (D х) - функция аргумента D х, являющаяся бесконечно малой при D х ®0, т. е. . Доказано, что А = f¢ (х ₀).

Например: у = х ³: D y =(х ₀+D х)³- х ₀³=3 х ²D х +3 х (D х)²+(D х)³, где А =3 х ², не зависящее от D х, а a (D х)=3 х D х +(D х)² - функция аргумента D х, являющаяся бесконечно малой при D х ®0, т. е. .

Установим связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием производной в той же точке.

Теорема 1: Для того чтобы функция y = f (x) была дифференцируема в точке х ₀, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Таким образом, для функций одной переменной дифференцируемость и существование производной - понятия равносильные. Поэтому операцию нахождения производной часто называют дифференцированием.

Теорема 2: Если функция y = f (x) дифференцируема в данной точке х ₀, то она и непрерывна в этой точке.

Замечание. Обратное утверждение неверно. Функция может быть непрерывной в точке, но не быть дифференцируемой, т. е. не иметь производной в этой точке.