Вероятностные характеристики случайных погрешностей

На практике чаще систематическая погрешность вносит больший вклад в погрешность измерения. Однако, рассмотрение вероятностных характеристик начнем со случайных погрешностей (СП)

В получаемом результате измерения

(5)

где СП есть центрированная случайная величина ().

Следовательно, результат измерения физической величины, содержащий СП, так же представляет собой случайную величину с математическим ожиданием равным

(7)

Как известно, наиболее полной характеристикой непрерывных случайных величин ( и ) является их функция распределения и плотность распределения вероятности:

(8), (9)

Функция случайной величины определяет вероятность того, что значения этой величины меньше некоторого значения x. Очевидно, что при

изменении x от до функция монотонно возрастает от 0 до 1. Следовательно, общая площадь под кривой всегда равна 1:

(10)

Плотность распределения , имеющая,очевидно, размерность [ x ^-1], характеризует относительную вероятность того, что значения случайной величины будут равны x. (Но поскольку непрерывная величина ¢ имеет на любом ограниченном интервале бесконечное множество значений , то вероятность каждого из них бесконечно мала. Поэтому, чтобы иметь конечное значение, отнесена к бесконечно малому отрезку (см (9))

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание

(11)

характеризует среднее значение этой величины. Из (7) следует, что разность между и истинным значением измеряемой величины представляет собой систематическую погрешность . В случае если , .

Важно отметить, что поскольку случайный характер результата измерения определяется только наличием случайной погрешности , то кривая плотности распределения повторяет аналогичную кривую для , со смещением на величину (рис. 2).

x

Рис. 2

В дальнейшем для простоты обозначения будем считать .

Дисперсия , (12)

как известно, количественно характеризует разброс значений случайной величины X¢ около ее математического ожидания. При этом

(13)

Неудобство использования дисперсии заключается в том, что она имеет размерность, равную квадрату размерности измеряемой величины. На практике удобнее использовать среднее квадратическое отклонение (СКО) s величины X´ от её математического ожидания:

По существу СКО является среднеквадратической величиной случайной погрешности. Эту величину называют точечной оценкой СП.

На практике кроме СКО бывает важно знать интервальную оценку СП, т. е. граничные значения , доверительного интервала , в пределах которого находится погрешность с достаточно высокой доверительной вероятностью .

Взаимосвязь граничных значений, с доверительной вероятностью определяется соотношением:

(14)

Если функция является четной, то , и (14) примет вид:

, (15)

Чем выше вероятность P_t, тем шире доверительный интервал. Чем больше СКО , тем больше . При этом , т. е.

, (16)

где коэффициент

представляет собой нормированное граничное значение СП.